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Scritto d'esame 2012

Inviato: mercoledì 12 febbraio 2014, 18:03
da Nome_utente
Spero di aver postato nella sezione giusta...
f(x,y,z)=2x^2-y^2/2+z^3
D:{x^2+y^2+z^2<=2; -1<=z<=1}
Viene richiesto di trovare massimo e minimo di f in D.
Il dominio dovrebbe essere la porzione centrale di una sfera di raggio sqrt2 centrata nell'origine (0,0,0) tagliata dai piani z=1 e z=-1.
Azzerando il gradiente trovo che l'unico stazionario interno è (0,0,0), in tale punto la f vale 0, quindi è probabile che sia un punto di sella (vista la presenza di un cubo nella f).
Passando al bordo del domino trovo che questo è costituito da due circonferenze di raggio 1 e centro (0,0,+-1) e dalla superficie sferica racchiusa da esse.
Allora ho applicato i Moltiplicatori di Lagrange a tutta la sfera e dei punti che ho trovato ho escluso quelli aventi la z non compresa tra -1 e 1.
Fin qui i candidati a max e min sono rispettivamente 4 [(+2,0,0) e (-2,0,0)] e -1 [(0,+sqrt2,0) e (0-sqrt2,0)].
Ora dovrei cercare degli ulteriori punti stazionari sia nei due "cerchi" (intesi come superfici) che sui loro bordi ("circonferenze" che sono di fatto infiniti punti di taglio tra la sfera e i due piani)?

Re: Scritto d'esame 2012

Inviato: mercoledì 12 febbraio 2014, 18:11
da ghisi
Nome_utente ha scritto:Spero di aver postato nella sezione giusta...
f(x,y,z)=2x^2-y^2/2+z^3
D:{x^2+y^2+z^2<=2; -1<=z<=1}
Viene richiesto di trovare massimo e minimo di f in D.
Il dominio dovrebbe essere la porzione centrale di una sfera di raggio sqrt2 centrata nell'origine (0,0,0) tagliata dai piani z=1 e z=-1.
Azzerando il gradiente trovo che l'unico stazionario interno è (0,0,0), in tale punto la f vale 0, quindi è probabile che sia un punto di sella (vista la presenza di un cubo nella f).
Passando al bordo del domino trovo che questo è costituito da due circonferenze di raggio 1 e centro (0,0,+-1) e dalla superficie sferica racchiusa da esse.
Allora ho applicato i Moltiplicatori di Lagrange a tutta la sfera e dei punti che ho trovato ho escluso quelli aventi la z non compresa tra -1 e 1.
Fin qui i candidati a max e min sono rispettivamente 4 [(+2,0,0) e (-2,0,0)] e -1 [(0,+sqrt2,0) e (0-sqrt2,0)].
Ora dovrei cercare degli ulteriori punti stazionari sia nei due "cerchi" (intesi come superfici) che sui loro bordi ("circonferenze" che sono di fatto infiniti punti di taglio tra la sfera e i due piani)?


Yes

Re: Scritto d'esame 2012

Inviato: giovedì 13 febbraio 2014, 11:55
da Nome_utente
Alla fine dopo aver studiato anche i restanti bordi e superfici di bordo ho trovato che i punti di max sono (+\sqrt{2},0,0) e (-\sqrt{2},0,0) che mi danno come massimo 4; mentre i punti di min sono (0,+1,-1) e (0,-1,-1) che mi danno come minimo -3/2.
Non avendo la soluzione di questo scritto spero che qualcuno mi dia la conferma che sono i risultati giusti.

Re: Scritto d'esame 2012

Inviato: venerdì 14 febbraio 2014, 9:42
da ghisi
Si sono corretti