inf-sup-max-min 3

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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Re: inf-sup-max-min 3

#31 Messaggioda andi » domenica 11 maggio 2014, 16:41

F:&|x|& e l'insieme: &x^2+y^2<=4&.
:?: ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto? :?:

Ps. Chiedo scusa se sparo qualche buffonata(per essere delicati :lol: ) ma meglio qui che all'esame! xD :D
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Re: inf-sup-max-min 3

#32 Messaggioda GIMUSI » domenica 11 maggio 2014, 18:23

andi ha scritto:F:&|x|& e l'insieme: &x^2+y^2<=4&.
:?: ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto? :?:


certo trattandosi di un valore assoluto i punti di zero sono senz'altro punti di minimo...tra l'altro in questo caso non c'è bisogno di scomodare né le derivate né lagrange...basta ragionare con le curve/linee di livello :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#33 Messaggioda volm92 » lunedì 12 maggio 2014, 15:03

Funzione: $f (x, y)=2^{x^2+y^2}$

Relazione: $x^4+2y^4=6$

I massimi li ho trovati, i minimi non so come fare. O meglio, dai punti che trovo svolgendo il sistema, escono tutti massimi (valore 8, quantità 4). Ovviamente dico che sono massimi perché ho visto la soluzione. Del valore minimo (2^{\sqrt{3}}) non ne vedo neanche l'ombra :(
Qualcuni sa consigliarmi? Grazie :D

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Re: inf-sup-max-min 3

#34 Messaggioda andi » lunedì 12 maggio 2014, 16:42

GIMUSI ha scritto:
andi ha scritto:F:&|x|& e l'insieme: &x^2+y^2<=4&.
:?: ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto? :?:


certo trattandosi di un valore assoluto i punti di zero sono senz'altro punti di minimo...tra l'altro in questo caso non c'è bisogno di scomodare né le derivate né lagrange...basta ragionare con le curve/linee di livello :)


Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) $|x-1|$
2) $|x-2|$
3) $|x-3|$
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è? :?
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Re: inf-sup-max-min 3

#35 Messaggioda GIMUSI » lunedì 12 maggio 2014, 22:16

andi ha scritto:Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) $|x-1|$
2) $|x-2|$
3) $|x-3|$
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è? :?


si possono trattare allo stesso modo...ragionando con le curve/linee di livello...ti consiglio anche di fare un disegno delle 4 funzioni nel piano z-x

allego qui lo svolgimento secondo questo criterio :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#36 Messaggioda GIMUSI » lunedì 12 maggio 2014, 23:12

volm92 ha scritto:Funzione: $f (x, y)=2^{x^2+y^2}$

Relazione: $x^4+2y^4=6$

I massimi li ho trovati, i minimi non so come fare. O meglio, dai punti che trovo svolgendo il sistema, escono tutti massimi (valore 8, quantità 4). Ovviamente dico che sono massimi perché ho visto la soluzione. Del valore minimo (2^{\sqrt{3}}) non ne vedo neanche l'ombra :(
Qualcuni sa consigliarmi? Grazie :D


allego un possibile svolgimento con lagrange :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#37 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 13 maggio 2014, 8:36

Aggiungo solo una piccola osservazione che talvolta semplifica la vita.

Visto che la funzione 2^x è strettamente crescente, cercare massimo e minimo di 2^{f(x,y)} è equivalente a cercare massimi e minimi della sola f(x,y).

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Re: inf-sup-max-min 3

#38 Messaggioda andi » mercoledì 14 maggio 2014, 14:43

GIMUSI ha scritto:
andi ha scritto:Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) $|x-1|$
2) $|x-2|$
3) $|x-3|$
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è? :?


si possono trattare allo stesso modo...ragionando con le curve/linee di livello...ti consiglio anche di fare un disegno delle 4 funzioni nel piano z-x

allego qui lo svolgimento secondo questo criterio :)


Ho capito! Grazie mille ancora!
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Re: inf-sup-max-min 3

#39 Messaggioda volm92 » giovedì 15 maggio 2014, 16:11

Buonasera, non riesco a capire il seguente esercizio:
Funzione: $f (x, y)=x^2+y^2$
Relazione: $x^2+y^2 \leq 3 - xy$

Mi viene uno stazionario interno nel punto P_1=(0,0)

Il primo sistema viene -3=0 ergo non ha soluzione.

Il secondo sistema mi viene così:
\[\Bigg\{\begin {array}{l}
2x=\lambda(2x+y)\\
2y=\lambda (2y+x)\\
\Phi=0
\end {array} =\Bigg\{\begin {array}{l}
y*2x=\lambda(2x+y)*y\\
x*2y=\lambda (2y+x)*x\\
\Phi=0
\end {array}\]
Eguaglio la prima e la seconda equazione:
\not\lambda (2x+y)*y=\not\lambda (2y+x)*x
e quindi x^2=y^2.
Vado a sostituire in \Phi e trovo x e quindi y che mi vengono \pm1.
Sostituendo nella funzione trovo che il max è 2 in 4 punti: (\pm1,\pm1) e di conseguenza come minimo prendo 0 in (0,0) (lo stazionario interno).

Dove sbaglio? :oops: Grazie :)

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Re: inf-sup-max-min 3

#40 Messaggioda GIMUSI » giovedì 15 maggio 2014, 22:32

mi pare che il problema sia qui

volm92 ha scritto:e quindi x^2=y^2
Vado a sostituire in \Phi e trovo x e quindi y che mi vengono \pm1


dalla condizione x^2=y^2 si deduce che y=\pm x...mi pare che tu abbia considerato solo il caso y=x perdendo due punti

allego un possibile svolgimento...il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45° (da ciò si possono dedurre con le curve di livello i punti di massimo)...lo studio del bordo con lagrange, a parte il passaggio incriminato, coincide con il tuo :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#41 Messaggioda volm92 » giovedì 15 maggio 2014, 23:32

GIMUSI ha scritto:mi pare che il problema sia qui

volm92 ha scritto:e quindi x^2=y^2
Vado a sostituire in \Phi e trovo x e quindi y che mi vengono \pm1


dalla condizione x^2=y^2 si deduce che y=\pm x...mi pare che tu abbia considerato solo il caso y=x perdendo due punti

allego un possibile svolgimento...il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45° (da ciò si possono dedurre con le curve di livello i punti di massimo)...lo studio del bordo con lagrange, a parte il passaggio incriminato, coincide con il tuo :)


NooOooOoo :(
Ho capito, grazie mille u.u
:D

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Re: inf-sup-max-min 3

#42 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 19 maggio 2014, 16:25

GIMUSI ha scritto:il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45°


Aggiungo solo un paio di osservazioni.

  • Per la parte di analisi non serve capire che si tratta di un'ellisse ruotata. Basta sapere che è un insieme limitato, cosa deducibile in tanti modi, ad esempio completando i quadrati.

  • Se uno vuole capire di cosa si tratta, il metodo più veloce è forse questo: si tratta di un'ellisse in quanto la forma quadratica è definita positiva; gli assi corrispondono agli autospazi della matrice associata e per verifica diretta se vede che (1,1) è autovalore, dunque l'altro è per forza (1,-1) :D (perché?).

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Re: inf-sup-max-min 3

#43 Messaggioda GIMUSI » lunedì 19 maggio 2014, 17:11

l'ho voluto fare con le isometrie...solo dopo mi è venuto in mente che l'interpretazione come forma quadratica potesse essere più conveniente...

l'altro è (1,-1) per il T.S. :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#44 Messaggioda GIMUSI » lunedì 19 maggio 2014, 21:59

Massimo Gobbino ha scritto:[list][*]Per la parte di analisi non serve capire che si tratta di un'ellisse ruotata. Basta sapere che è un insieme limitato, cosa deducibile in tanti modi, ad esempio completando i quadrati.


se ho capito bene, con il completamento dei quadrati si deve mostrare che

x^2+y^2+xy=(x+y/2)^2+3y^2/4 \le 3

preso y=kx risulta

(x+kx/2)^2+3(kx)^2/4 = x^2[(1+k/2)^2+3k^2/4] \le 3

e quindi

x^2 \le 3/[(1+k/2)^2+3k^2/4]

mentre per x=0

y^2 \le 3
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Re: inf-sup-max-min 3

#45 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 20 maggio 2014, 9:12

Nonono, così non va bene, perché la stima su x dipende da k e tutto il ragionamento è "troppo sulle rette", cosa pericolosissima in analisi 2.

Più semplicemente, dopo aver completato i quadrati si deduce subito che y^2\leq 4, il che dà la limitazione di y, cioè volendo essere espliciti

-2\leq y\leq 2.

A quel punto, guardando l'altro termine, si ottiene che (x+y/2)^2\leq 3, quindi x+y/2 è limitato, ma sapendo già che y è limitato, anche x lo deve essere. Volendo essere espliciti

x+y/2\leq\sqrt{3}, quindi x\leq\sqrt{3}-y/2\leq\sqrt{3}+1

e dall'altra parte

x+y/2\geq-\sqrt{3}, quindi x\leq\sqrt{3}-y/2\geq-\sqrt{3}-1.


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