sviluppo di taylor

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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Re: sviluppo di taylor

#16 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 27 giugno 2014, 9:50

Gabe ha scritto:lo sviluppo di ordine 2 è y^2, sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?


Assolutamente no: pensa ai due esempi x^4+y^2 e -x^4+y^2 (la forma è la stessa, ma il comportamento è diverso).

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Re: sviluppo di taylor

#17 Messaggioda Gabe » venerdì 27 giugno 2014, 14:31

Immaginavo, ma quindi come si può fare se abbiamo una forma semidefinita? con il metodo delle rette?

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Re: sviluppo di taylor

#18 Messaggioda GIMUSI » sabato 28 giugno 2014, 19:20

Gabe ha scritto:Prendiamo per esempio f(x, y)=ln(1+x^4+y^2), e vogliamo studiare cosa è il punto (0, 0),

H_f(0, 0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, quindi è semidefinita positiva,

lo sviluppo di ordine 2 è y^2, sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?


allego un possibile svolgimento per lo studio del punto stazionario con taylor
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Re: sviluppo di taylor

#19 Messaggioda Gabe » domenica 29 giugno 2014, 15:03

Ok, quindi bisogna passare per le forme quadratiche, grazie!

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Re: sviluppo di taylor

#20 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 giugno 2014, 17:10

Gabe ha scritto:Ok, quindi bisogna passare per le forme quadratiche, grazie!


ma non è una forma quadratica (i termini non sono omogenei, due sono di grado 4 e uno di grado 2)

con taylor vengono fuori i termini di quarto grado che con l'hessiana non si vedono e che permettono di capire come si comporta la funzione nell'intorno del punto stazionario (0,0) (y^2 è più grande di y^4 e quindi il punto è un punto di minimo relativo)

:?: ammesso che lo sviluppo di taylor sia del tutto corretto...ho un piccolo dubbio sul passaggio relativo all'o-piccolo :)
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Re: sviluppo di taylor

#21 Messaggioda Gabe » domenica 29 giugno 2014, 19:58

Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare o((x^4+y^2)^2) a o((x^2+y^2)^2)?

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Re: sviluppo di taylor

#22 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 giugno 2014, 23:02

Gabe ha scritto:Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare o((x^4+y^2)^2) a o((x^2+y^2)^2)?


esatto...mi pare plausibile che o((x^4+y^2)^2) sia o((x^2+y^2)^2)

ma non saprei come fare per bene il passaggio da l'uno all'altro
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Re: sviluppo di taylor

#23 Messaggioda ghisi » lunedì 30 giugno 2014, 14:26

GIMUSI ha scritto:
Gabe ha scritto:Si è vero non lo è, non so come mi sia venuta.

Dici quando fai passare o((x^4+y^2)^2) a o((x^2+y^2)^2)?


esatto...mi pare plausibile che o((x^4+y^2)^2) sia o((x^2+y^2)^2)

ma non saprei come fare per bene il passaggio da l'uno all'altro


Basta dire che in un intorno dell'origine x^4+y^2 \leq x^2+y^2.

Il modo più rapito di fare l'esercizio in questo caso era osservare che si tratta del \log(1+qualcosa) e quel qualcosa è positivo e si annulla nell'origine che quindi è un punto di minimo.

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Re: sviluppo di taylor

#24 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 11:30

Salve :D
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?

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Re: sviluppo di taylor

#25 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 11:44

nomeutente ha scritto:Salve :D
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?


puoi utilizzare lo sviluppo di taylor e^t per t->0

e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)

e^{xy}-xy = 1+xy+x^2y^2+o(x^2y^2)-xy =1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)

da cui puoi concludere che l’origine è un punto di minimo locale :)
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Re: sviluppo di taylor

#26 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 11:49

In questo caso, quindi, posso ragionare come ad analisi 1 :D
Grazie

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Re: sviluppo di taylor

#27 Messaggioda ghisi » martedì 1 luglio 2014, 11:55

GIMUSI ha scritto:
nomeutente ha scritto:Salve :D
Ho questo problema: e^(xy) - xy e devo classificare i p.ti stazionari (origine).
La Hf mi viene nulla. Che faccio?


puoi utilizzare lo sviluppo di taylor e^t per t->0

e^t = 1+t+t^2/2+o(t^2)

e^{xy}-xy = 1+xy+x^2y^2+o(x^2y^2)-xy =1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)

da cui puoi concludere che l’origine è un punto di minimo locale :)


Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica 1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2) non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio 1 + x^2y^2 - x^5.

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con o(x^2y^2) per intenderci) allora funziona.

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Re: sviluppo di taylor

#28 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 luglio 2014, 12:02

ghisi ha scritto:
Se fai l'ultimo passaggio NON puoi più concludere nulla, una funzione che verifica 1 + x^2y^2+o((x^2+y^2)^2) non ha necessariamente un minimo nell'origine, ad esempio 1 + x^2y^2 - x^5.

Se invece ti fermi prima, essendo sostanzialmente una funzione di una variabile (con o(x^2y^2) per intenderci) allora funziona.


ecco questi sono i dubbi che ho nei passaggi con l'o-piccolo in più variabili

ma un x^5 non verrebbe "mangiato" da o((x^2+y^2)^2)? :roll:
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Re: sviluppo di taylor

#29 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 12:29

Credo che l' x^5 nell' esempio della prof sia la stessa cosa del sin y^5 nella lezione 21(mi sembra). Fa cambiare segno, quindi non è max/min ma boh
Ho visto giusto?

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Re: sviluppo di taylor

#30 Messaggioda nomeutente » martedì 1 luglio 2014, 12:41

Nella Scheda p.ti staz. 2 per classificare max/min globali o locali devo sostituire i p.ti nella funzione per vedere le quote o c'è un modo più furbo?


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