Limiti "doppi"

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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C_Paradise
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Limiti "doppi"

#1 Messaggioda C_Paradise » mercoledì 7 ottobre 2015, 0:55

Un'altra domanda, forse banale, ma non riesco a farlo vedere formalmente. Se f(x,y) è definita su una palla aperta centrata in (0,0) e
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=l \in \mathbb{R}
possiamo concludere che le seguenti scritture sono sensate e poi corrette
\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)=l?

È possibile affermare, per esempio, che esiste r>0 tale per cui \forall y \in (-r, r) si ha \lim_{x\to0}f(x,y)=l_y \in \mathbb{R} così da avere ben definita l'applicazione L \colon (-r, r) \to \mathbb{R} \ | \ y \mapsto l_y

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Re: Limiti "doppi"

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 7 ottobre 2015, 8:58

Ho separato l'argomento perché questo merita una discussione separata. Coraggio, sul questo mi aspetto interventi!

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Re: Limiti "doppi"

#3 Messaggioda C_Paradise » mercoledì 7 ottobre 2015, 15:21

Forse no, prendo f(x,y)=y\sin(1/x), il limite per (x,y) \to (0,0) è 0, ma per ogni y\neq0 fissato il limite per x non esiste. Possiamo dire qualcosa di generale su D(y)=\limsup_{x\to0}f(x,y)-\liminf_{x\to0}f(x,y) ad y\neq0 fissato in un certo intervallo? Per esempio che \lim_{y\to0}D(y)=0?


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