Ammissibilità del seguente cambio di variabili

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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Federico.M
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Ammissibilità del seguente cambio di variabili

#1 Messaggioda Federico.M » lunedì 2 ottobre 2017, 0:48

Nella risoluzione di un esercizio sui limiti di funzioni di due variabili, è lecito porre il seguente cambio di variabili

x + y = 2z e x – y = 2w

affermando che, senza nessuna ipotesi ulteriore, (x,y) che tendono a (0,0) implica che anche (z,w) tendono a (0,0) ?
Come esempio allego una soluzione dell'esercizio 5, Limiti 3, Esercizi di Analisi Matematica 2.
Risposte, correzioni e soluzioni alternative sono ben gradite.
Grazie.
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Limiti 3 Esercizio 5.pdf
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Re: Ammissibilità del seguente cambio di variabili

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 2 ottobre 2017, 9:19

Federico.M ha scritto:Nella risoluzione di un esercizio sui limiti di funzioni di due variabili, è lecito porre il seguente cambio di variabili

x + y = 2z e x – y = 2w

affermando che, senza nessuna ipotesi ulteriore, (x,y) che tendono a (0,0) implica che anche (z,w) tendono a (0,0) ?


Assolutamente corretto. Si tratta, in fondo, di un cambio di base nel piano. Formalmente bisognerebbe verificare che il vettore (x,y) ha norma "piccola" se e solo se il vettore (z,w) ha norma "piccola".

Nell'esempio specifico, il cambio di variabili poteva essere evitato mettendo i valori assoluti e osservando che

[math]

per ogni valore di t. A quel punto resta solo l'altro termine con il seno della differenza ed il gioco è fatto.

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Re: Ammissibilità del seguente cambio di variabili

#3 Messaggioda Federico.M » lunedì 2 ottobre 2017, 11:03

Grazie per le dritte professore.. A volte sfuggono anche le cose più semplici.. :) :)
Federico


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