Limite “distanza”

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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keine_ahnung
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Limite “distanza”

#1 Messaggioda keine_ahnung » giovedì 16 agosto 2018, 16:17

Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:

[math]

come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa [math], ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre [math], ma poi non so come trattare il [math] che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.

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Re: Limite “distanza”

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 18 agosto 2018, 8:02

Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente.

Le vie di uscita classiche sono due.

La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che

[math],

cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.

La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione [math] tale che [math]. A meno di sottosuccessioni sappiamo che [math] e [math] ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è [math], perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).

[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]

keine_ahnung
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Re: Limite “distanza”

#3 Messaggioda keine_ahnung » sabato 18 agosto 2018, 11:25

Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni [math] e [math], e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a [math] e una sottosuccessione che converge a [math]. A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a [math] o a [math]. Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione [math] che tende a [math], quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione [math] tende a [math]

Ci devo riflettere :roll:

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Re: Limite “distanza”

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 18 agosto 2018, 15:39

Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).

Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia [math] il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione [math] tale che

[math] e [math]

Per quanto visto sopra sappiamo che esiste [math] tale che

[math]

il che forza [math].

keine_ahnung
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Re: Limite “distanza”

#5 Messaggioda keine_ahnung » sabato 18 agosto 2018, 16:21

Adesso ho capito!! Grazie mille!

Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:

[math]


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