Integrali tripli

Integrali multipli, anche impropri
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Filippo.ingrasciotta
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Integrali tripli

#1 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » venerdì 7 marzo 2014, 10:01

Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1

\iiint x^2 dxdydz sul dominio D: x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18

ghisi
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Re: Integrali tripli

#2 Messaggioda ghisi » venerdì 7 marzo 2014, 16:46

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1


In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.

Filippo.ingrasciotta ha scritto:\iiint x^2 dxdydz sul dominio D: x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18


Il dominio lo puoi scrivere come

\displaystyle \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + 2xy + x^2 + z^2 + 2xz + y^2 +z^2 +2yz)

e da qui un semplice cambio di variabili lo riporta ad una sfera.

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Re: Integrali tripli

#3 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 24 marzo 2014, 16:38

ghisi ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

\iiint 1 dxdydz sul dominio D: 2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1


In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.


Il cambio di variabili l'ho fatto ma non mi torna con il risultato del libro....
Allora ho preso tre nuove variabili e imposto che

u=\sqrt2 x
w= \sqrt3 y
v= \sqrt5 z

Così facendo mi viene lo jacobiano = \sqrt30

E l'integrale diventa \iiint 1 dudvdw su u^2 + w^2 + v^2 \leq 1

Quindi passò in coordinate sferiche facendo diventare l'integrale :
\iiint \rho^2 cos\psi d\rho d\psi d\theta con \rho [0,1]    \theta [0, 2\pi]      \psi [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}].

E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente

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Re: Integrali tripli

#4 Messaggioda GIMUSI » lunedì 24 marzo 2014, 17:25

Filippo.ingrasciotta ha scritto:
E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente


mi pare che il termine \sqrt30 vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: du dw dv = \sqrt30 dx dy dz

quindi dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw
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Re: Integrali tripli

#5 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 24 marzo 2014, 19:34

GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:
E svolgendo i conti il risultato mi viene \frac{4\pi\sqrt30}{3}

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente


mi pare che il termine \sqrt30 vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: du dw dv = \sqrt30 dx dy dz

quindi dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw



Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che dxdydz=\sqrt30dudvdw

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Re: Integrali tripli

#6 Messaggioda GIMUSI » lunedì 24 marzo 2014, 21:54

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che dxdydz=\sqrt30dudvdw


a parte le formule generali con il cambiamento di variabili considerato l'elementino di volume

dV=dxdydz

con

dx=du/\sqrt2

dy=dw/\sqrt3

dz=dv/\sqrt5

diventa

dV=dudwdv/\sqrt30

quindi credo proprio che il termine \sqrt30 vada al denominatore

tornando allo jacobiano la relazione da considerare dovrebbe essere la seguente

dxdydz=J(u,w,v)dudwdv

dove

J(u,w,v)=
\begin{vmatrix}
  \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
   \frac{\partial y}{\partial u} &  \frac{\partial y}{\partial w} &  \frac{\partial y}{\partial v} \\
   \frac{\partial z}{\partial u} &  \frac{\partial z}{\partial w} &  \frac{\partial z}{\partial v}
 \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
  \frac{1}{\sqrt2} & 0 & 0 \\
  0 &  \frac{1}{\sqrt3}  & 0 \\
  0 & 0 &   \frac{1}{\sqrt5} 
 \end{vmatrix}
= \frac{1}{\sqrt30}

[EDIT}
ho corretto un errore nella terza riga dello jacobiano
\frac{\partial y}{\partial w} al posto di \frac{\partial z}{\partial w}
Ultima modifica di GIMUSI il giovedì 27 marzo 2014, 22:26, modificato 1 volta in totale.
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Re: Integrali tripli

#7 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » martedì 25 marzo 2014, 8:50

Bene ho trovato l'errore, avevo sbagliato lo Jacobiano, mi scuso con gimusi se magari sono stato troppo insistente, il risultato del libro adesso torna è bastato razionalizzare

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Re: Integrali tripli

#8 Messaggioda GIMUSI » martedì 25 marzo 2014, 10:48

figurati...non sei stato per nulla insistente...è normale confrontarsi qui sul blog..ed è per tutti un'occasione per imparare e verificare le conoscenze :)
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