Solidi di rotazione

Integrali multipli, anche impropri
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Re: Solidi di rotazione

#16 Messaggioda GIMUSI » lunedì 23 giugno 2014, 22:09

Gabe ha scritto:Ho una domanda su questi due esercizi, come faccio a farli con la formula diretta? con Guldino mi tornano, ma nell'altro modo no

Calcolare il volume dei solidi di rotazione:

1) Figura: \{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \} rotazione intorno a x


2) Figura: \{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \} rotazione intorno a y


allego un possibile svolgimento
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Re: Solidi di rotazione

#17 Messaggioda Gabe » martedì 24 giugno 2014, 11:51

Il secondo l'hai calcolato con guldino giusto?

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Re: Solidi di rotazione

#18 Messaggioda GIMUSI » martedì 24 giugno 2014, 22:45

Gabe ha scritto:Il secondo l'hai calcolato con guldino giusto?


no...con i gusci cilindrici :)
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Re: Solidi di rotazione

#19 Messaggioda Gabe » mercoledì 25 giugno 2014, 14:54

e se lo volessi fare con la formula diretta?

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Re: Solidi di rotazione

#20 Messaggioda GIMUSI » venerdì 27 giugno 2014, 0:17

Gabe ha scritto:e se lo volessi fare con la formula diretta?


con la formula diretta mi pare dura perché dovresti scrivere x=f(y) che mi pare molto complicato...magari si può fare ma non saprei come...coi gusci mi pare molto più semplice :)
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Re: Solidi di rotazione

#21 Messaggioda ghisi » venerdì 27 giugno 2014, 14:08

A volte può essere utile ricordare che Il teorema di Guldino si può anche enunciare in questo modo:

se V si ottiene da una rotazione intorno all'asse z del dominio D del piano yz allora

Volume(V) = 2\pi \displaystyle \int_D y \, dy\, dz.

A questo punto si tratta di fare solo un integrale doppio (ovviamente se cambiano gli assi di rotazione o il piano in cui si trova D cambia la variabile da integrare).

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Re: Solidi di rotazione

#22 Messaggioda Gabe » sabato 28 giugno 2014, 20:29

Consideriamo il solido di rotazione che viene fuori ruotando attorno all'asse y il triangolo del piano yz con vertici in (0, 0), (1, 1), (0, 2),

se volessi calcolare la coordinata y_G del baricentro del solido con \frac{1}{Vol(S)}\iiint_S y dxdydz, come potrei fare?

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Re: Solidi di rotazione

#23 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 giugno 2014, 19:10

Gabe ha scritto:Consideriamo il solido di rotazione che viene fuori ruotando attorno all'asse y il triangolo del piano yz con vertici in (0, 0), (1, 1), (0, 2),

se volessi calcolare la coordinata y_G del baricentro del solido con \frac{1}{Vol(S)}\iiint_S y dxdydz, come potrei fare?


proprio con l'integrale che hai indicato

allego lo svolgimento con vari metodi :)

un'osservazione: mi pare che in generale il baricentro dei solidi di rotazione non coincida con quello della figura che li genera (ad esempio per un cono è a 1/4 H dalla base e non a 1/3 H); in questo caso però accade proprio così ma non saprei se è solo un caso o se c'è qualche semplice ragione che lo giustifichi
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Re: Solidi di rotazione

#24 Messaggioda Gabe » domenica 29 giugno 2014, 19:56

Ok come hai fatto te mi torna anche a me, solo che sono rimasto spiazzato quando nell'aiutino c'era scritto di risolvere: y_G=\frac{1}{2\pi}2\pi\int_T y z dy dz dove con T si intende la figura, che proprio non riesco a capire da dove venga fuori
GIMUSI ha scritto:
Gabe ha scritto:un'osservazione: mi pare che in generale il baricentro dei solidi di rotazione non coincida con quello della figura che li genera (ad esempio per un cono è a 1/4 H dalla base e non a 1/3 H); in questo caso però accade proprio così ma non saprei se è solo un caso o se c'è qualche semplice ragione che lo giustifichi


Si me ne ero reso conto anch'io, aspettiamo delucidazioni :D

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Re: Solidi di rotazione

#25 Messaggioda ghisi » lunedì 30 giugno 2014, 13:57

Si tratta di una formula che di solito viene fatta a lezione, ma che in ogni caso è facile da ricavare.

Partiamo da Guldino:

D dominio del piano yz ruotato intorno all'asse z (rotazione completa). Se scrivete il solido in coordinate cilindriche con asse z un possibile cambio di variabili diventa x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta, z = u; dove 0\leq \theta \leq 2\pi e (\rho, u) \in D_\rho. Il dominio D_\rho è sostanzialmente D pensato nelle nuove coordinate (\rho è la distanza dall'asse di rotazione che quando si prende x = 0 coincide con y). A questo punto

Vol(V) = 2\pi\int_{D_\rho}\rho \, d\rho \, du

che si può riscrivere (solo ricordando chi sono le variabili) come

2\pi\int_{D}y \, dy \, dz .

Se adesso vogliamo la z del baricentro, procedendo allo stesso modo si trova

\displaystyle \frac{ 2\pi }{vol(V)}\displaystyle \int_{D}y z \, dy \, dz.

Ovviamente cambiando l'asse di rotazione e/o il piano del dominio che si ruota cambiano le variabili coinvolte. Questo però funziona bene solo se si vuole la coordinata del baricentro rispetto all'asse di rotazione...

NB Se si vogliono le altre coordinate del baricentro e la rotazione non è completa bisogna fare attenzione al modo di scegliere il cambio di variabili...


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