stima dall' alto di un integrale vettoriale

Integrali multipli, anche impropri
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Giacomo
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stima dall' alto di un integrale vettoriale

#1 Messaggioda Giacomo » venerdì 1 dicembre 2017, 22:51

Buonasera a tutti,
voglio provare a dare una generalizzazione della stima di un integrale vettoriale.
Sia [math] un insieme. Sia [math] uno spazio vettoriale normato di dimensione finita e sia [math] il suo spazio duale. Sia [math] l' insieme delle funzioni da [math] in [math] e [math] l' insieme delle funzioni da [math] in [math]. Sia [math] una funzione da [math] in [math] e sia [math] una funzione da [math] in [math]. Supponiamo che per ogni [math] appartenente a [math] e per ogni [math] appartenente a [math] valga la relazione [math] = [math]. Supponiamo inoltre che [math] <= [math] per qualunque [math] appartenente a [math] implica [math] <= [math]. Supponiamo inoltre che [math] sia nulla per la funzione identicamente nulla e che sia omogenea.

Allora accade che per qualunque [math] appartenente a [math] :

[math] <= [math]

Dim.
Fissato [math] appartenente al duale abbiamo che per ogni [math]:
[math] = [math] <= [math]
( segue dal fatto che [math] <= |v| |f| e dalla monotonia di [math]. La norma di un elemento del duale è definita come :
[math] al variare di [math] in [math] )

Se [math] è il vettore nullo non c' è niente da dimostrare ( infatti [math] calcolata per una funzione che è il valore assoluto di "qualcosa" avrà un valore maggiore o uguale rispetto a [math] calcolata per la funzione identicamente nulla che restituisce per ipotesi il valore 0.

Altrimenti competo una base rispetto a [math] e scelgo [math] in modo che [math] sia uguale a [math] e nulla negli altri componenti della base. C è definito come il sup della componente dei vettori di norma 1 rispetto all' elemento della base [math]. La norma di [math] è [math]. Inserendo nella relazione di prima si ha che:

[math] <= [math] usando l' omogeneità di [math] si ha che:

[math] <= [math] da cui semplificando si ottiene la tesi.

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