Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

Integrali multipli, anche impropri
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lRninG
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Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#1 Messaggioda lRninG » lunedì 19 agosto 2019, 15:49

Salve. Ho questo integrale triplo che ho svolto, senza successo.

Lascio traccia e svolgimento sperando che qualche buona anima possa illuminarmi:

Dato l'insieme [math]

Calcolare [math].

Il disegno sarebbe:

Immagine

Anziché utilizzare le coordinate sferiche ho voluto provare con quelle polari:
[math]

Ho "calcolato" gli estremi di integrazione per via grafica, essendo molto banale.
Il primo integrale sarebbe:

[math]

Risolto l'integrale in dr (sapendo che l'integrale di [math] è: [math]), arrivo ad un risultato di circa 0,617.

Il secondo è analogo e mi risulta molto piccolo, direi trascurabile rispetto al primo..

Il risultato in realtà sarebbe: [math]... Non capisco dove sbaglio... idee?

Grazie anticipatamente!

ghisi
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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#2 Messaggioda ghisi » martedì 20 agosto 2019, 11:48

lRninG ha scritto:Il primo integrale sarebbe:

[math]

Risolto l'integrale in dr (sapendo che l'integrale di [math] è: [math]), arrivo ad un risultato di circa 0,617.

Il secondo è analogo e mi risulta molto piccolo, direi trascurabile rispetto al primo..

Il risultato in realtà sarebbe: [math]... Non capisco dove sbaglio... idee?

Grazie anticipatamente!


L'impostazione è corretta, ma quello che scrivi dopo sinceramente non lo capisco. Dopo aver fatto l'integrale in [math] ti torvi da integrare la funzione [math] (almeno mi pare) e questo integrale lo devi calcolare. Non si fanno integrali approssimati.... (tra l'altro c'è anche l'integrale in [math] da cui ottieni un [math] che moltiplica tutto).
Il passaggio alle cilindriche è corretto, ma perchè (dopo avre integrato in [math]) non riapplichi le polari?

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#3 Messaggioda lRninG » martedì 20 agosto 2019, 16:03

Ciao! Intanto grazie molte per la risposta..

Non ho mostrato tutti i passaggi ma ho fatto proprio come dici..

Dopo aver fatto l'integrale in [math] mi risulta:

[math]

Il che mi porta al risultato che ho scritto (ho provato a farlo con la calcolatrice).. non so più dove sbatter la testa :(! Grazie ancora
Ultima modifica di lRninG il martedì 20 agosto 2019, 17:39, modificato 2 volte in totale.

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#4 Messaggioda ghisi » martedì 20 agosto 2019, 17:17

lRninG ha scritto:Ciao! Intanto grazie molte per la risposta..

Non ho mostrato tutti i passaggi ma ho fatto proprio come dici..

Dopo aver fatto l'integrale in [math] mi risulta:

[math]

Il che mi porta al risultato che ho scritto (ho provato a farlo con la calcolatrice).. non so più dove sbatter la testa :(! Grazie ancora


NON si fanno gli integrali con la calcolatrice (tra l'altro non impari nulla)! Se fai un cambio di variabili ottieni
[math]
e l'integrale fa [math] A questo devi aggiungere l'altro integrale che tu non stai mai considerando.

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#5 Messaggioda lRninG » martedì 20 agosto 2019, 18:07

Hai ragione, era solamente per verificare i calcoli ed essere sicuro che non fossero errori di calcolo, ma solo di metodo...

Infatti viene come hai scritto tu [math] da sommare al secondo integrale, che è analogo : [math]
Il quale però mi risulta essere nullo.

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#6 Messaggioda ghisi » martedì 20 agosto 2019, 19:19

lRninG ha scritto:Hai ragione, era solamente per verificare i calcoli ed essere sicuro che non fossero errori di calcolo, ma solo di metodo...

Infatti viene come hai scritto tu [math] da sommare al secondo integrale, che è analogo : [math]
Il quale però mi risulta essere nullo.


Si esatto, il risultato mi pare [math] (anche fatto con un metodo più semplice).

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#7 Messaggioda lRninG » martedì 20 agosto 2019, 21:54

Eh lo so però purtroppo il mio testo non è d'accordo :oops:

111111.PNG
(219.87 KiB) Mai scaricato

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#8 Messaggioda ghisi » mercoledì 21 agosto 2019, 8:29

lRninG ha scritto:Eh lo so però purtroppo il mio testo non è d'accordo :oops:

111111.PNG


Si è dimenticato 1/2 (almeno mi pare): [math] calcolato fra [math] e [math] fa 1/2 e non 1. Cose che capitano: comunque quello è sostanzialmente il metodo con cui lo ho fatto io.

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Re: Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

#9 Messaggioda lRninG » mercoledì 21 agosto 2019, 11:30

Hai ragione, si sbaglia il prof. Grazie!!!!!


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