Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

Integrali multipli, anche impropri
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lRninG
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Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

#1 Messaggioda lRninG » lunedì 26 agosto 2019, 15:21

Buongiorno.
Mi ritrovo a chiedere aiuto con un nuovo integrale.. Nel frattempo ringrazio per gli aiuti nei post precedenti.

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Una volta passato in coordinate polari scrivo l'integrale risolutivo : [math].
Qui sorge il mio dubbio, negli altri esercizi ho sempre avuto condizioni sull'angolo theta, invece in questo caso non so sinceramente dove ricavarmi gli estremi di integrazione dell'integrale in d[math]. Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!

P.s I due integrali dentro al d[math] mi risultano 1, che va poi integrato in base all'angolo :roll:. Nel testo viene riportato invece il risultato [math].

ghisi
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Re: Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

#2 Messaggioda ghisi » martedì 27 agosto 2019, 10:01

Si tratta di un solido di rotazione: il fatto che non ci siano condizioni su [math] vuol dire che si tratta di una rotazione completa, il che significa che [math] varia in [math]. In altri termini se tagli il solido con piani a z fisso ottieni degli anelli. Oppure lo puoi vedere in coordinate cilindriche...

Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Suggerimento: prova a fare l'integrale scrivendo l'insieme come normale rispetto all'altro asse...

lRninG
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Re: Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

#3 Messaggioda lRninG » martedì 27 agosto 2019, 12:13

Intanto grazie per la risposta!
ghisi ha scritto:Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Varia tra [math] e [math].
ghisi ha scritto:Suggerimento: prova a fare l'integrale scrivendo l'insieme come normale rispetto all'altro asse...

Ho provato a farlo rispetto all'altro asse e tutto torna:

[math].

Resta allora il dubbio, perché nell'altro caso non funziona? Non dovrebbero essere perfettamente equivalenti le due integrazioni?

Grazie ancora per l'aiuto!

ghisi
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Re: Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

#4 Messaggioda ghisi » martedì 27 agosto 2019, 14:48

lRninG ha scritto:Intanto grazie per la risposta!
ghisi ha scritto:Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Varia tra [math] e [math].


[math] varia in un intervallo che dipende da [math] e non fra [math] e [math]. In ogni caso guarda bene come hai descritto l'insieme: [math] e [math]. Se metti [math] ottieni [math] negativo, e quindi la tua non è una descrizione corretta dell'insieme. Se vuoi fare l'integrale come normale rispetto all'asse [math] devi spezzarlo in 2 parti.

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Re: Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

#5 Messaggioda lRninG » martedì 27 agosto 2019, 15:10

Ho rifatto il grafico alla luce del suo messaggio e ho capito perfettamente, grazie mille!


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