Esistenza e unicità di soluzione limitata

Equazioni differenziali e problemi di Cauchy
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Esistenza e unicità di soluzione limitata

#1 Messaggioda Lorececco » giovedì 30 marzo 2017, 0:50

Buonasera, scrivo qua a proposito di un esercizio che non abbiamo avuto tempo di discutere a lezione e di cui ho trovato una soluzione, almeno a prima vista, palesemente errata. Allego file in [math] tanto per provare.

Grazie in anticipo! :D
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Re: Esistenza e unicità di soluzione limitata

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 30 marzo 2017, 9:16

La questione è delicata.

Intanto non sono convinto che nella formula per z(t) ci siano delle radici di 7 al numeratore. Magari ricontrolla i calcoli ... dovrebbero andare sotto, se non altro per questioni di simmetria.

Il secondo problema, più essenziale, è che quegli integrali dovrebbero avere gli estremi di integrazione, ad esempio 0 e t. Se metti gli estremi, allora vedrai che, per colpa dell'estremo 0, non hai più la cancellazione degli esponenziali con esponenti positivi e negativi che ti ha portato alla stima con il 3M.

La via d'uscita classica consiste nel mimare l'esempio iniziale della lezione 82.

[Osservazione semi-delirante finale: leggere a proprio rischio e pericolo] A posteriori, uno può fare la vera furbata, e mettere estremi t e +infinito nell'integrale che ha dentro l'esponenziale negativo ed estremi -infinito e t nell'altro, perché in fondo sono sempre primitive. A quel punto si può fare esattamente il conto di Lorececco, senza problemi che derivano dal sostituire 0, e si ottiene davvero che le due costanti sono nulle. Ovviamente però queste nuove costanti sono diverse dalle precedenti, come si vede se uno prova a calcolarle in funzione dei dati iniziali.


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