particolare equazione differenziale

Equazioni differenziali e problemi di Cauchy
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nick3000
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particolare equazione differenziale

#1 Messaggioda nick3000 » martedì 10 febbraio 2009, 18:29

Salve a tutti, vorrei postare un esercizio sulle equazioni differenziali lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
u''-9u'+20u=e^(5t)
A prima vista sembrerebbe una semplice equazione differenziale risolubile o col metodo dell'indovino oppure con il metodo delle variazioni delle costanti.
In questo caso ad occhio è preferibile utilizzare il metodo dell'indovino, vediamo che cosa succede.
Innanzitutto troviamo le soluzioni delll'equazione omogenea associata:
u''-9u'+20u=0 -> x^2-9x+20=0 che ha come radici 3+-(\/11)i.
Quindi la soluzione della parte omogenea associata è del tipo
[e^(3t)][a cos((\/11)t) + b sin((\/11)t)]
Ora passiamo a studiare la parte non omogenea:
e^(5x) non risulta essere radice dell'equazione omogenea, quindi possiamo provare a prendere u(t)=Te^(5t), u'(t)=5Te^(5t), u''(t)=25Te^(5t)
Andando a sostituire otteniamo 25Te^(5t)-45Te^(5t)+20Te^(5t)=e^(5t) cioè 0=e^(5x), cioè impossibile, questo vuol dire che e^(5t) è radice dell'equazione omogenea, ma com'è possibile se nella soluzione generele e^(5t) non compare? L'esercizio esce usando Tte^(5t) però mi piacerebbe avere dei chiarimenti, se è possibile dal professor Gobbino.
Arrivederci a presto :D

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Tavaguet
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Re: particolare equazione differenziale

#2 Messaggioda Tavaguet » mercoledì 11 febbraio 2009, 14:28

nick3000 ha scritto:Innanzitutto troviamo le soluzioni delll'equazione omogenea associata:
u''-9u'+20u=0 -> x^2-9x+20=0 che ha come radici 3+-(\/11)i.


l'errore è qui, hai sbagliato qualcosa a calcolare le radici
il polinomio associato è scomponibile in (x-5)(x-4) (regola somma-prodotto oppure con la formula di risoluzione)
sapendo questo si spiega anche quello che ti accade dopo :wink:

nick3000
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Re: particolare equazione differenziale

#3 Messaggioda nick3000 » mercoledì 11 febbraio 2009, 20:15

Tavaguet ha scritto:
nick3000 ha scritto:Innanzitutto troviamo le soluzioni delll'equazione omogenea associata:
u''-9u'+20u=0 -> x^2-9x+20=0 che ha come radici 3+-(\/11)i.


l'errore è qui, hai sbagliato qualcosa a calcolare le radici
il polinomio associato è scomponibile in (x-5)(x-4) (regola somma-prodotto oppure con la formula di risoluzione)
sapendo questo si spiega anche quello che ti accade dopo :wink:


si hai ragione :D


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