Differenziale sesto appello 2010

Equazioni differenziali e problemi di Cauchy
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Onizuka
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Differenziale sesto appello 2010

#1 Messaggioda Onizuka » lunedì 23 agosto 2010, 18:54

Salve, ero alle prese con questo esercizio, sono quasi arrivato in fondo ma non riesco a concludere:

4. (a) Scrivere il polinomio p(z)= z^6+4z^2 come prodotto di fattori di primo grado (a coefficenti complessi)

(b) Determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale Immagine

Una volta fatta la fattorizzazione di primo grado , avremo un polinomio del tipo:

P(z) = x * x * (x-z3) (x-z4) (x-z5) (x-z6)

sostituendo :

P(z) = x * x * (x-1-i) (x+1+i) (x+1-i) (x-1+i)

dopodiche si passa all'esercizio (b), ne quale avrò bisogno della fattorizzazione reale, per calcolare le radici della omogenea associata.

Immagine

E fin qui nessun problema (o almeno spero), ora iniziano i dubbi:

per calcolare la soluzione generale dell'omogenea associata, trovo le soluzioni specifiche per ogni fattore, e dopodiche le unisco tutte insieme

x^2 soluzione : a+b t
Immaginesoluzione : Immagine
Immaginesoluzione : Immagine

unendole tutte e tre avremo la soluzione genrale della omogenea :

p(z)=Immagine

Proseguendo dovrò calcolare una soluzione qualunque della non omogenea, usando il metodo dell'indovino (per tentativi)
siccome la non omogenea è composta da 2 termini : Immagine
Come devo fare?
io ho provato, a fare un unico tentativo che comprenda sia t^2 sia e^t
siccome nella prima parte della differenziale, abbiamo un sesto grado della derivata, allora il tentativo per il polinomio t^2 sarà di sesto grado invece che di secondo:
il tentativo per la soluzione della non omogenea sarà:

u(t) = Immagine

e ora derivo sei volte:

Immagine


Immagine


sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo:

Immagine

da qui come bisogna procedere, ammesso che il procedimento adottato fino ad adesso sia giusto.

Grazie in anticipo

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