Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo...
Ho bisogno di aiuto per questo limite...
Non scherzo dicendo che è da un giorno che provo a farlo.
Il limite è il seguente
(2-cos(1/(n+n^2)))^n^4
Ho provato a fare E-ALLA, a sostituire y= 1/n, ma arrivo mi blocco sempre.
Grazie in anticipo a tutti.
Un Saluto
LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
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Dunque, per prima cosa fai E-ALLA, poi considera il 2 come 1+1 e componi il limite notevole con il coseno. A questo punto hai log(1+qualcosa che va a zero), cioè un altro limite notevole. Al denominatore metti in evidenza n^4 e lo semplifichi con l'n^4 iniziale.
Usando Taylor invece che i limiti notevoli si fa anche prima...
Usando Taylor invece che i limiti notevoli si fa anche prima...
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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
Come l'avresti applicato Taylor? 

"Carpe diem, quam minimum credula postero."
Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
Arrivato ad avere log( 1 + "roba tendente a zero" ), chiami la "roba tendente a zero" = x (è circa 1/n^4) e dici semplicemente che log (...) = "roba tendente a zero" + o( "roba..." ).
- catarsiaffa
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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
Chiarissimo!!!:)
Ci sono ancora 3 limiti che mi mettono un po' in difficoltà, vedo se riesco a risolverli, altrimenti te li posto...
Ci sono ancora 3 limiti che mi mettono un po' in difficoltà, vedo se riesco a risolverli, altrimenti te li posto...

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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
NelloGiovane ha scritto:Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo...
Ho bisogno di aiuto per questo limite...
Non scherzo dicendo che è da un giorno che provo a farlo.
Il limite è il seguente
Ho provato a fare E-ALLA, a sostituire y= 1/n, ma arrivo mi blocco sempre.
Grazie in anticipo a tutti.
Un Saluto
Fare ""E-ALLA "" non è necessario ...
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4} \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}](latexrender/pictures/36ae2b3e18e6d78831f0a6d4c493a79c.png)
![\displaystyle= \lim_{n \to +\infty} \left[2-1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4} \displaystyle= \lim_{n \to +\infty} \left[2-1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}](latexrender/pictures/ed0be4283235a94ccea9457156ebe2db.png)


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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
Brutalmente è corretto, ma formalmente ci sono il primo passaggio con un "circa" e l'ultima uguaglianza della prima riga (quella in cui sostituisci il coseno con il suo sviluppino) che andrebbero giustificati.
La giustificazione richiede(rebbe) o di fare un "e-alla" generale ed un po' di limiti notevoli, oppure un "e-alla" generale ed un po' di sviluppini con relativi o piccolo (ma in fondo limiti notevoli = sviluppini).
La giustificazione richiede(rebbe) o di fare un "e-alla" generale ed un po' di limiti notevoli, oppure un "e-alla" generale ed un po' di sviluppini con relativi o piccolo (ma in fondo limiti notevoli = sviluppini).
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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
Massimo Gobbino ha scritto:Brutalmente è corretto, ma formalmente ci sono il primo passaggio con un "circa" e l'ultima uguaglianza della prima riga (quella in cui sostituisci il coseno con il suo sviluppino) che andrebbero giustificati.
La giustificazione richiede(rebbe) o di fare un "e-alla" generale ed un po' di limiti notevoli, oppure un "e-alla" generale ed un po' di sviluppini con relativi o piccolo (ma in fondo limiti notevoli = sviluppini).
Cosi potrebbe essere?
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4} \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}](latexrender/pictures/36ae2b3e18e6d78831f0a6d4c493a79c.png)
questo perchè la successione, quando


e dunque
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4} \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n+n^2}\right)\right]^{n^4}\sim \lim_{n \to +\infty} \left[2-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}](latexrender/pictures/36ae2b3e18e6d78831f0a6d4c493a79c.png)
a questo punto, essendo
![\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^{n^4}=](latexrender/pictures/67e28fcfc58328f49a16901ae3680fa8.png)
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2}\cdot \left(\frac{1}{n^2}\right)^2\right]^{n^4} \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2}\cdot \left(\frac{1}{n^2}\right)^2\right]^{n^4}](latexrender/pictures/70f45862600e4dabebc4ee18cbd3a882.png)
e osservando che

si ha
![\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4} = \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4}= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4} = \lim_{n \to +\infty} \left[1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^4}\right]^{n^4}=](latexrender/pictures/548e1d8f99cfd121d45629c9c4f75676.png)
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{n^4}= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{n^4}=](latexrender/pictures/ddf9e6212522fe65fffd198bd982f9b0.png)
![\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{2n^4\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt e \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left[1+\ \frac{1}{2n^4}\right]^{2n^4\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt e](latexrender/pictures/a0ce18e8351d390cdd9bc15540918e0f.png)
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Re: LIMITI 8 esercizio 6 prima colonna
E' tutto pieno di limiti fatti metà per volta ... procedura (che funziona spesso ma proprio per questo) estremamente pericolosa ... tra un'ora inizio una lezione in cui illustro cosa può succedere procedendo in quel modo!
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