Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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eneasuppemogi
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Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#1 Messaggioda eneasuppemogi » venerdì 19 ottobre 2012, 18:16

Ho problemi con il seguente limite :

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

Chiedo scusa per la brutta scrittura del limite e per il fatto che molto probabilmente sarà di facile risoluzione; tuttavia, non riesco a capire cosa sbaglio nell'applicare gli sviluppi di Taylor. Ho provato con diversi n.
Grazie a tutti per l'aiuto.

[EDIT: ho aggiustato la scrittura (Massimo Gobbino)]

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#2 Messaggioda Noisemaker » lunedì 22 ottobre 2012, 10:16

eneasuppemogi ha scritto:Ho problemi con il seguente limite :

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

Chiedo scusa per la brutta scrittura del limite e per il fatto che molto probabilmente sarà di facile risoluzione; tuttavia, non riesco a capire cosa sbaglio nell'applicare gli sviluppi di Taylor. Ho provato con diversi n.
Grazie a tutti per l'aiuto.



anzitutto ricorda lo sviluppo

\displaystyle(1+x)^{\beta}=1+\beta x+\frac{\beta(\beta-1)}{2} x^2+o(x^2)


\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}\sim \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+ x)^{1/3} + (1- x)^{1/3} - 2}{1-\cos  x }

\stackrel{\bf{T}}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1+\frac{1}{3} x+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2} x^2+o(x^2) + 1-\frac{1}{3} x+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2} x^2+o(x^2) - 2}{\frac{1}{2}x^2 }=

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{-\frac{1}{9} x^2-\frac{1}{9} x^2 }{\frac{1}{2}x^2 } = \displaystyle-\frac{4}{9}

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 22 ottobre 2012, 13:18

Sostanzialmente corretto, ma mooolto brutale nella sostituzione di sin x e arctan x con x. Ad essere rigorosi bisognava mettere entrambe le volte un o(x^2) (e o(x) non sarebbe bastato).

Per capire che la cosa è essenziale, invito a riflettere su cosa sarebbe successo se nei due termini al numeratore ci fosse stato \log(1+x) invece di \sin x.

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#4 Messaggioda Noisemaker » lunedì 22 ottobre 2012, 20:59

Massimo Gobbino ha scritto:Sostanzialmente corretto, ma mooolto brutale nella sostituzione di sin x e arctan x con x. Ad essere rigorosi bisognava mettere entrambe le volte un o(x^2) (e o(x) non sarebbe bastato).

Per capire che la cosa è essenziale, invito a riflettere su cosa sarebbe successo se nei due termini al numeratore ci fosse stato \log(1+x) invece di \sin x.


\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1-\log(1+x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

quando x\to 0,

- \sin x\sim x

- \log(1+x)\sim x

- \arctan x\sim x

e quindi ci si sarebbe poi ridotti in ogni caso a considerare il limite

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+ x)^{1/3} + (1- x)^{1/3} - 2}{1-\cos  x }

è qui gli o(x^2) ci informano dove fermarci con lo sviluppo; in realtà con le stime asintotiche, cioè con gli sviluppi al primo ordine, non abbiamo fatto altro che semplificare il limite, non l'abbiamo risolto, cioè non abbiamo fatto calcoli potenzialmente pericolosi! è da qui che i perocoli iniziano

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#5 Messaggioda CoTareg » martedì 23 ottobre 2012, 0:35

Se ci fosse stato \displaystyle \log (1+x) sarebbero saltati fuori termini in \displaystyle x^2 già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 23 ottobre 2012, 8:08

CoTareg ha scritto:Se ci fosse stato \displaystyle \log (1+x) sarebbero saltati fuori termini in \displaystyle x^2 già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.


Parole fondamentali quelle di CoTareg

Occhio alla differenza tra i seguenti due esempi:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1+\log(1-x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

P.S. Ma dove sono quelli che stanno seguendo il corso di quest'anno?

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#7 Messaggioda eneasuppemogi » mercoledì 24 ottobre 2012, 19:23

Massimo Gobbino ha scritto:
CoTareg ha scritto:Se ci fosse stato \displaystyle \log (1+x) sarebbero saltati fuori termini in \displaystyle x^2 già nello sviluppo del logaritmo, dato che la battaglia è sull'ordine 2.
Quando si sceglie un ordine, quello va utilizzato ad ogni livello di annidamento di funzioni.


Parole fondamentali quelle di CoTareg

Occhio alla differenza tra i seguenti due esempi:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\log(1+x))^{1/3} + (1+\log(1-x))^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+\sin x)^{1/3} + (1-\sin x)^{1/3} - 2}{1-\cos(\arctan x)}

P.S. Ma dove sono quelli che stanno seguendo il corso di quest'anno?

A malincuore Professore, sono uno studente del corso di quest'anno accademico.
La ringrazio per la gentilezza e la disponibilità dimostrata verso noi tutti, sopratutto verso le matricole!

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, quarto limite

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 24 ottobre 2012, 19:34

Grazie, però mi aspetterei più attività su questo forum. Non è credibile che nessuno abbia degli esercizi che non vengono ... Certo la cosa mi costringerebbe a lavorare di più, perché comunque dovrei controllare i post ed eventualmente aggiungere spiegazioni a quelle "autogestite", ma sarebbe un lavoro utile e che soprattutto non andrebbe sprecato per il futuro.

L'obiezione classica è che alcuni (o molti?) sono timidi e si vergognano ad intervenire. Anche la risposta però è classica: meglio rischiare di scrivere stupidaggini qui dove volendo nessuno sa associare un nick ad un volto (a meno di non metterlo nell'avatar ...), oppure scriverle tra qualche mese in un foglio con nome e cognome, magari presentandosi all'esame infinite volte (e qui astenersi da eventuali gestacci :lol: )?


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