Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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eneasuppemogi
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Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#1 Messaggioda eneasuppemogi » domenica 28 ottobre 2012, 18:13

Dubbi sull'uso degli sviluppi di Taylor....

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}

Grazie a tutti per la disponibilità.

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#2 Messaggioda Noisemaker » domenica 28 ottobre 2012, 19:01

eneasuppemogi ha scritto:Dubbi sull'uso degli sviluppi di Taylor....

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}

Grazie a tutti per la disponibilità.



che dubbio??

eneasuppemogi
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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#3 Messaggioda eneasuppemogi » domenica 28 ottobre 2012, 19:04

Semplicemente, applicando Taylor non capisco dove sbaglio visto che non arrivo al risultato.

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#4 Messaggioda Noisemaker » domenica 28 ottobre 2012, 21:06

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}

ricordando che :

\displaystyle \ln (1+x)= x - {x^2\over 2}+{x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} +o(x^4)

\displaystyle \sin x =  x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)

\displaystyle \sinh x =  x +{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)

si ha:

\displaystyle \log(1+\sin x^3) = \displaystyle \sin x^3 - {(\sin x^3)^2\over 2}+{(\sin x^3)^3 \over 3} +o(\sin x^3) = \displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} - {(x^3 -{x^9\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) = \displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)


\displaystyle \log(1+\sinh x^3) = \displaystyle \sinh x^3 - {(\sinh x^3)^2\over 2}+{(\sinh x^3)^3 \over 3} +o(\sinh x^3) = \displaystyle x^3+{x^9\over 3!}- {(x +{x^3\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) = \displaystyle x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)

da cui:

\displaystyle \log(1+\sin x^3)-\displaystyle \log(1+\sinh x^3) = \displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9) - \displaystyle \left(x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)\right) = \displaystyle-\frac{x^9}{3}

Allora

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{x^9}{3}}{x^9}= -\frac{1}{3}
Ultima modifica di Noisemaker il lunedì 29 ottobre 2012, 15:05, modificato 1 volta in totale.

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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 29 ottobre 2012, 8:04

Occhio! Il risultato è giusto, ma i due sviluppi chiave, cioè quello di \log(1+\sin x^3) ed il corrispondente con il sinh, contengono entrambi due errori importanti. Chi corregge?

filiaqui
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Re: Limiti 9, colonna di sinistra, sesto limite

#6 Messaggioda filiaqui » lunedì 5 novembre 2012, 11:49

non hai svolto correttamente il quadrato nei due sviluppi,manca un termine ..almeno credo sia quello l'errore


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