![\dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}](latexrender/pictures/28ac177d7ba94a1757d5847035d08569.png "\dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}")
leo23 ha scritto:Salve a tutti...
avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:
per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???
quando 
hai che 
va a 
più velocemente di 
; analogamente per la successione ![n^3+3\sqrt[3]{n})](latexrender/pictures/8eb33b0ac28325879bc0d9230b9bcc7d.png "n^3+3\sqrt[3]{n})")
![\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}\sim \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}](latexrender/pictures/7b767ddf9a4f7ab3393a0b46f2c344d4.png "\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}\sim \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}")
Massimo Gobbino ha scritto:Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.
![\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log\left[n^2\left(1+\frac{2\sqrt{n}}{n^2}\right)\right]}{\log\left[n^3\left(1+\frac{3\sqrt[3]{n}}{n^3}\right)\right]}=](latexrender/pictures/a5d50cbf4f9763bebd227d6a95b7fcaf.png "\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log\left[n^2\left(1+\frac{2\sqrt{n}}{n^2}\right)\right]}{\log\left[n^3\left(1+\frac{3\sqrt[3]{n}}{n^3}\right)\right]}=")
![=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+2n^(\frac{1}{2} - 2))}{\log(n^3(1+3n^(\frac{1}{3}-3)}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+\frac{2}{\sqrt{n^3}}))}{\log(n^3(1+\frac{3}{\sqrt[3]{n^8}}))}](latexrender/pictures/9d49b82fb312561ad27d122a8252a91f.png "=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+2n^(\frac{1}{2} - 2))}{\log(n^3(1+3n^(\frac{1}{3}-3)}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+\frac{2}{\sqrt{n^3}}))}{\log(n^3(1+\frac{3}{\sqrt[3]{n^8}}))}")
" (sto solo citando le proprietà dei logaritmi, e ho usato latex per la prima volta)..
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![\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}](latexrender/pictures/7b79f2533cb58df33073047f6b1e38f3.png "\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}")
