Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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leo23
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Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#1 Messaggioda leo23 » venerdì 9 novembre 2012, 22:03

Salve a tutti...

avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:

\dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}

per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#2 Messaggioda Noisemaker » domenica 11 novembre 2012, 19:50

leo23 ha scritto:Salve a tutti...

avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:

\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}

per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???


considera la successione \displaystyle n^2+2\sqrt{n} : quando n\to +\infty hai che n^2 va a +\infty più velocemente di \sqrt{n}; analogamente per la successione n^3+3\sqrt[3]{n})

Allora

\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}\sim \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#3 Messaggioda leo23 » lunedì 12 novembre 2012, 9:54

non ho proprio pensato...grazie mille!!!

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 13 novembre 2012, 17:45

Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#5 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 14 novembre 2012, 11:27

Massimo Gobbino ha scritto:Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.


\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log\left[n^2\left(1+\frac{2\sqrt{n}}{n^2}\right)\right]}{\log\left[n^3\left(1+\frac{3\sqrt[3]{n}}{n^3}\right)\right]}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log n^2 }{\log n^3 }=\displaystyle\frac{2}{3}\frac{\ln n}{\ln n}= \frac{2}{3}

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 14 novembre 2012, 14:55

ehm, nessuno protesta?

dakron9
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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#7 Messaggioda dakron9 » venerdì 16 novembre 2012, 16:57

sono un pò fermo in analisi (dato che non frequento più), ma mi pare di ricordare che i limiti fatti a metà possono uscire giusti anche se il procedimento è sbagliato.. insomma, è un brutto vizio da non prendere...

l'intuizione è corretta?

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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 17 novembre 2012, 19:33

Esatto, mai fare i limiti metà per volta! Il 90% delle volte va bene, ma nel restante 10% ...

steme
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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#9 Messaggioda steme » sabato 17 novembre 2012, 22:27

Dopo aver messo in evidenza n quadro e n cubo sopra e sotto, e arrivo a questo punto, come si procede per arrivare alla ovvia conclusione senza applicare il limite metà per volta?

=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+2n^(\frac{1}{2} - 2))}{\log(n^3(1+3n^(\frac{1}{3}-3)}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+\frac{2}{\sqrt{n^3}}))}{\log(n^3(1+\frac{3}{\sqrt[3]{n^8}}))}

dakron9
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Re: Limiti 5 - 1°colonna; 2° es.

#10 Messaggioda dakron9 » domenica 18 novembre 2012, 0:06

diciamo che non me la cavo col latex, quindi ti scrivo i passaggi che mi vengono in mente:

1) "logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi"
2) " log(a^b) = b*log(a)" (sto solo citando le proprietà dei logaritmi, e ho usato latex per la prima volta)..
3) raccogli log(n)

dovresti ottenere qualcosa del tipo (mi sono arreso col latex):

log(n) * ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
-----------------------------------------------
log(n) * (3 + log("altra roba")/log(n) )

da qui puoi scegliere se semplificare log(n) oppure puoi separare la frazione:

log(n) ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
------- * ------------------------------------
log(n) ( 3 + log("altra roba")/log(n) )

e utilizzare la regola "limite di un prodotto = prodotto di limiti"..
spero di averti dato almeno l'idea...


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