![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}](latexrender/pictures/b3034891cbcad6c81cbd898e5305ff4e.png)
Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:

studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge}](latexrender/pictures/bc85a204aee11da8fd186ccc0fbdac9b.png)
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice.
La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:

la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione





dunque la seconda serie risulta


nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che










e dunque la serie converge semplicemente per


Concludendo si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=](latexrender/pictures/824094cf5d48a4d82ed8839b50d296c6.png)
