Sottospazi vettoriali 1

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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eclipse-sk
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#16 Messaggioda eclipse-sk » giovedì 17 aprile 2014, 15:14

(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1
(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)


in pratica da 2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1, ho cercato di dimostrare che 2(x_1x_2 + y_1y_2) in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#17 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 15:29

eclipse-sk ha scritto:
(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1
(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)


in pratica da 2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1, ho cercato di dimostrare che 2(x_1x_2 + y_1y_2) in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..


esatto come nell'esempio 5 della lezione 12 ...e sufficiente un solo controesempio
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#18 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 15:48

eclipse-sk ha scritto:in pratica da 2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1, ho cercato di dimostrare che 2(x_1x_2 + y_1y_2) in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..


tra l'altro in questo caso si può mostrare che la relazione è soddisfatta solo da coppie di punti che “distano” sulla circonferenza unitaria di un angolo \theta= 2\pi/3

infatti il modulo del vettore somma deve risultare unitario

2cos(\theta/2)=1

quindi

cos(\theta/2)=1/2

\theta/2=\pm \pi/3

\theta=\pm 2\pi/3

ma come detto è sufficiente un solo controesempio per escludere che si tratti di un sottospazio
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#19 Messaggioda Gabe » martedì 22 aprile 2014, 15:39

Ragazzi una domanda, prendo come spazio vettoriale V=\mathbb{R}^3 e come sottospazio x+y+z=2x+3y+4z, voglio verificare se lo è:
[unparseable or potentially dangerous latex formula], quindi viene:x1+2y1+3z1 +x2+2y2+3z2=0. Quindi è un sottospazio poichè verifica l uguaglianza 0=0.
Se volessi trovare una base e quindi poi in base agli elementi di essa, vedere la dimensione come potrei fare?

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#20 Messaggioda GIMUSI » martedì 22 aprile 2014, 16:27

l’insieme da considerare è definito dalla relazione:

x+y+z=2x+3y+4z

la prima cosa da fare è verificare se l’insieme dei vettori/punti che soddisfano la relazione data costituisce un sottospazio vettoriale

la procedura è quella basata sulla definizione; si considerano due vettori/punti che soddisfano la relazione data:

P_1=(x_1,y_1,z_1)

P_2=(x_2,y_2,z_2)

per determinare se si tratta di un sottospazio si deve verificare che la stessa relazioni sia soddisfatta anche dalle loro combinazioni lineari ossia dai seguenti punti/vettori:

P_1+P_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)

aP_1=(ax_1,ay_1,az_1)

la verifica è immediata, quindi si tratta di un sottospazio

base e dimensione si determinano risolvendo il sistema (1 equazione in tre incognite):

x+2y+3z=0

è facile vedere che la soluzione in forma parametrica è del tipo:

t(2,-1,0)+s(0,-3,2)

quindi una base è costituita dai vettori:

(2,-1,0), (0,-3,2)

e la dimensione è due (geometricamente si tratta di un piano per l’origine)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#21 Messaggioda Gabe » mercoledì 23 aprile 2014, 15:45

Perfetto allora procedevo bene, ti volevo chiedere anche un altra cosa, nel punto 4, come svolgi p(x)+p(2x)=5x?

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#22 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 23 aprile 2014, 16:25

Gabe ha scritto:Perfetto allora procedevo bene, ti volevo chiedere anche un altra cosa, nel punto 4, come svolgi p(x)+p(2x)=5x?


il procedimento non cambia, si considerano due vettori/polinomi che soddisfano la reazione:

p_1(x)+p_1(2x)=5x

p_2(x)+p_2(2x)=5x

e si verifica se anche le combinazioni lineari

(p_1+p_2)(x)=?

ap_1(x)=?

soddisfano la stessa relazione
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#23 Messaggioda Gabe » mercoledì 23 aprile 2014, 16:48

Grazie mille ancora!

[Vado un attimo off-topic, GIMUSI abiti per caso a Pisa?, vorrei chiederti una cosa, ti posso contattare in privato? ti lascio la mia email andre_gabe AT hotmail PUNTO it]

[EDIT (Amministratore): ho offuscato la mail così non ti arrivano tonnellate di spam ...]

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#24 Messaggioda Pirello » sabato 25 ottobre 2014, 17:23

Io sto avendo dei problemi con questi esercizi, molto probabilmente perchè non sono ancora entrato nella logica di questi tipi di esercizi..

Per esempio, prendendo il secondo esercizio del punto 1: W={(x,y) in R^2: 2x+3y=0} .Usando la definizione di sottospazio vettoriale devo verificare che la somma di due vettori generici v1=(x1,y1)e v2=(x2,y2)stia in W. A questo punto faccio2(x1+x2)+3(y1+y2)e qui mi blocco perchè sostanzialmente non ho capito cosa devo dimostrare dopo aver costruito quell'equazione (devo dimostrare che l'equazione è uguale a zero? come faccio a dimostrare che la somma è consentita per qualsiasi v(n)? Devo sostituire dei valori a x e y?)

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#25 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 26 ottobre 2014, 8:43

Sì, si tratta proprio di entrare nella logica, poi di solito sono davvero banali.

Come dici tu devi prendere un generico vettore v_1=(x_1,y_1) che sta in W, cioè verifica 2x_1+3y_1=0, ed un generico vettore v_2=(x_2,y_2) che sta in W, cioè verifica 2x_2+3y_2=0.

Poi devi fare la loro somma, cioè il vettore v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2), e chiederti se sta a sua volta in W, cioè verifica 2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0.

Devi quindi dimostrare la relazione 2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0 a partire dalle due relazioni supposte vere per ipotesi, cioè 2x_1+3y_1=0 e 2x_2+3y_2=0. La cosa è chiaramente banale, in quanto basta sommare le due note per ottenere quella da dimostrare.

Poi devi fare la stessa cosa per il prodotto di un vettore per un numero, cioè prendere un generico vettore v=(x,y) di W (che quindi verifica 2x+3y=0), pendere un generico numero \alpha, e sperare che il vettore \alpha v=(\alpha x,\alpha y) sia ancora in W, cioè verifichi 2(\alpha x)+3(\alpha y)=0. Anche questa è banale ...

Nota però che in tutto ciò è fondamentale che l'equazione che definisce W sia omogenea: se era 2x+3y=1 non funziona più nulla.

Dare dei valori non serve a nulla, se non a fare degli esempi per convincersi che la cosa è vera. Tutte le volte che bisogna dimostrare che una certa relazione vale "per ogni ..." non serve a nulla verificarla in qualche caso.

Dare dei valori può tornare utile solo in caso di esito negativo. Ad esempio, se vuoi dimostrare che un certo W *non* è un sottospazio vettoriale, basta che trovi due vettori di W a tua scelta la cui somma non sta in W. Basta infatti la presenza di quei due per escludere che la somma stia in W *per ogni scelta* dei due addendi in W.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#26 Messaggioda Pirello » domenica 26 ottobre 2014, 9:09

Massimo Gobbino ha scritto:
Devi quindi dimostrare la relazione 2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0 a partire dalle due relazioni supposte vere per ipotesi, cioè 2x_1+3y_1=0 e 2x_2+3y_2=0. La cosa è chiaramente banale, in quanto basta sommare le due note per ottenere quella da dimostrare.

Poi devi fare la stessa cosa per il prodotto di un vettore per un numero, cioè prendere un generico vettore v=(x,y) di W (che quindi verifica 2x+3y=0), pendere un generico numero \alpha, e sperare che il vettore \alpha v=(\alpha x,\alpha y) sia ancora in W, cioè verifichi 2(\alpha x)+3(\alpha y)=0. Anche questa è banale ...


Perfetto, penso di aver capito! È come se fosse una dimostrazione che partendo dalle ipotesi e verificando la definizione di sottospazio bisogna arrivare alla tesi. Beh a questo punto si vede che 2x+3y=0 è un sottospazio vettoriale.... Eventualmente direi che una base è (-3,2) :?: e la Dim =1 :?:

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#27 Messaggioda Pirello » domenica 26 ottobre 2014, 17:34

Allego qui di seguito i risultati che mi sono venuti per i primi 2 punti di "Sottospazi vettoriali 1"

Mi piacerebbe trovare qualcun'altro che li abbia svolti per avere un confronto e almeno rimediare se ci fossero errori nei risultati! Ho dei dubbi sull'esercizio 5 e 7 del punto 2..
Allegati
Soluzioni scheda 19 -Sottospazi vettoriali 1.pdf
(21.46 KiB) Scaricato 121 volte
Ultima modifica di Pirello il domenica 26 ottobre 2014, 18:02, modificato 2 volte in totale.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#28 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 26 ottobre 2014, 17:38

Magari salva come pdf che è più comodo per tutti.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#29 Messaggioda Pirello » domenica 26 ottobre 2014, 17:48

Massimo Gobbino ha scritto:Magari salva come pdf che è più comodo per tutti.


Ho risolto.. Ora dovrebbe essere pdf.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#30 Messaggioda Pirello » giovedì 30 ottobre 2014, 12:10

Allego qui di seguito la seconda parte delle soluzioni di "Sottospazi Vettoriali 1"..

Premetto che non ho la minima idea di come si svolga p(5) = p( pi greco) = 0 ! :?: :?:
Allegati
SOLUZIONI SCHEDA 19- SOTTOSPAZI VETTORIALI 1 _SECONDA PARTE_.pdf
(27.8 KiB) Scaricato 129 volte


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