inf-sup-max-min 3

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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matt_93
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inf-sup-max-min 3

#1 Messaggioda matt_93 » martedì 15 aprile 2014, 10:26

salve, ho fatto gli esercizi relativi alla scheda ma non mi riesce trovare i punti di max/min degli ultimi 2 esercizi, ossia:

1) x^{2} +y^{2}-xy con x^{2}+2y^{2}\leq4
2) x^{2}y+y^{2} con (x^{2}+y^{2}-3)^{2}\leq4

praticamente faccio un sacco di conti e mi accorgo di non arrivare al risultato, forse per via di errori grossolani, dovuti a svista o disattenzione...
se qualcuno ha fatto un procedimento che torna (e magari che possa risparmiare un po' di conti, se possibile), sarebbe così gentile da postarlo?

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Re: inf-sup-max-min 3

#2 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 16 aprile 2014, 8:40

matt_93 ha scritto:salve, ho fatto gli esercizi relativi alla scheda ma non mi riesce trovare i punti di max/min degli ultimi 2 esercizi, ossia:

1) x^{2} +y^{2}-xy con x^{2}+2y^{2}\leq4
2) x^{2}y+y^{2} con (x^{2}+y^{2}-3)^{2}\leq4

praticamente faccio un sacco di conti e mi accorgo di non arrivare al risultato, forse per via di errori grossolani, dovuti a svista o disattenzione...
se qualcuno ha fatto un procedimento che torna (e magari che possa risparmiare un po' di conti, se possibile), sarebbe così gentile da postarlo?


allego lo svolgimento dei due esercizi...ho applicato in entrambi i casi il metodo dei moltiplicatori di lagrange :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#3 Messaggioda matt_93 » mercoledì 16 aprile 2014, 17:50

grazie mille!! mi ero perso nei conti e non sapevo come continuare....
se non è di troppo disturbo, come hai fatto l'esercizio 6 di inf-sup-max-min 4?

xy/(17+x^{2}y^{2}) con x\le0,0\le y\le5-x^{4}

so che non centra col thread ma è un dubbio che non mi torna, in quanto mi risulta punti di max infiniti con max=\sqrt17/34

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Re: inf-sup-max-min 3

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 17 aprile 2014, 0:19

@GIMUSI: occhio al passaggio in fondo a pagina 1 del file 01, quello in cui elimini lambda ricavandolo dalle 2 equazioni e poi uguagliando. Quel passaggio ha sempre una certa pericolosità dovuta alla divisione per qualcosa che potenzialmente potrebbe essere 0. Molto meglio ottenere lo stesso risultando moltiplicando in modo che i secondi membri vengano uguali (cioè la prima equazione per 2y e la seconda per x) e poi uguagliando. Si arriva allo stesso punto, ma senza rischiare.

@matt_93: per favore apri thread diversi almeno per schede di esercizi diverse. Così per chi cerca diventa più semplice.

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Re: inf-sup-max-min 3

#5 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 8:44

Massimo Gobbino ha scritto:@GIMUSI: occhio al passaggio in fondo a pagina 1 del file 01, quello in cui elimini lambda ricavandolo dalle 2 equazioni e poi uguagliando. Quel passaggio ha sempre una certa pericolosità dovuta alla divisione per qualcosa che potenzialmente potrebbe essere 0. Molto meglio ottenere lo stesso risultando moltiplicando in modo che i secondi membri vengano uguali (cioè la prima equazione per 2y e la seconda per x) e poi uguagliando. Si arriva allo stesso punto, ma senza rischiare.


sul \lambda ero tranquillo perché \lambda=0 era compatibile con x=y=0 che non sta sul bordo, è un ragionamento corretto?

il rischio in questo caso era sui termini 2y-x e y che sul bordo considerato possono annullarsi?

se alla fine si verifica che l'assunzione fatta (2y-x \neq 0 e y \neq 0) è compatibile con i punti ottenuti la divisione si può fare o è in ogni caso sconsigliabile?
Ultima modifica di GIMUSI il giovedì 17 aprile 2014, 9:07, modificato 3 volte in totale.
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Re: inf-sup-max-min 3

#6 Messaggioda GIMUSI » giovedì 17 aprile 2014, 8:48

matt_93 ha scritto:grazie mille!! mi ero perso nei conti e non sapevo come continuare....
se non è di troppo disturbo, come hai fatto l'esercizio 6 di inf-sup-max-min 4?

xy/(17+x^{2}y^{2}) con x\le0,0\le y\le5-x^{4}

so che non centra col thread ma è un dubbio che non mi torna, in quanto mi risulta punti di max infiniti con max=\sqrt17/34


questo è insidioso...mi pare che non ci siano punti stazionari interni

sul bordo con lagrange viene fuori un macello...quindi ho utilizzato la sostituzione :)
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Re: inf-sup-max-min 3

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 17 aprile 2014, 23:54

GIMUSI ha scritto:sul \lambda ero tranquillo perché \lambda=0 era compatibile con x=y=0 che non sta sul bordo, è un ragionamento corretto?


lambda = 0 non è pericoloso in quanto non hai mai diviso per lambda

GIMUSI ha scritto:il rischio in questo caso era sui termini 2y-x e y che sul bordo considerato possono annullarsi?

se alla fine si verifica che l'assunzione fatta (2y-x \neq 0 e y \neq 0) è compatibile con i punti ottenuti la divisione si può fare o è in ogni caso sconsigliabile?


Dovresti discutere *uno per uno* i casi in cui le cose per cui stai dividendo sono nulle. Ad esempio hai diviso per 2y-x, quindi dovreste dire: che succede se 2y-x=0? Allora dalla seconda equazione seguirebbe che lambda=0 oppure y=0. Nel primo caso ... nel secondo caso ... idem per la seconda cosa per cui dividi, cioè y.

Visto che però si può arrivare allo stesso punto soltanto moltiplicando, allora tanto vale evitare le seccature.

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Re: inf-sup-max-min 3

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 18 aprile 2014, 0:05

GIMUSI ha scritto:sul bordo con lagrange viene fuori un macello...quindi ho utilizzato la sostituzione :)


Truccaccio: studiare max e min sull'insieme di xy. Questo si fa tranquillamente anche con i moltiplicatori. Una volta che si sa dove varia xy (ovviamente tra il suo max ed il suo min), si sa dove varia Mostro(xy), basta studiare la funzione di una variabile Mostro(t).

Spesso facendo la composizione di due esercizi facili si ottiene un esercizio molto meno facile :lol:

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Re: inf-sup-max-min 3

#9 Messaggioda GIMUSI » venerdì 18 aprile 2014, 14:12

Massimo Gobbino ha scritto:
GIMUSI ha scritto:sul bordo con lagrange viene fuori un macello...quindi ho utilizzato la sostituzione :)


Truccaccio: studiare max e min sull'insieme di xy. Questo si fa tranquillamente anche con i moltiplicatori. Una volta che si sa dove varia xy (ovviamente tra il suo max ed il suo min), si sa dove varia Mostro(xy), basta studiare la funzione di una variabile Mostro(t).

Spesso facendo la composizione di due esercizi facili si ottiene un esercizio molto meno facile :lol:


cosa può arrivare ad escogitare la mente umana!!! :lol:
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Inf-Sup-Max-Min 3

#10 Messaggioda volm92 » domenica 27 aprile 2014, 19:25

Buonasera,
non riesco a svolgere nemmeno il primo esercizio della sezione "Inf-Sup-Max-Min 3".
Cerco di svolgere l'esercizio come spiegato alla lezione 10, ma quando vado a svolgere il secondo sistema non riesco ad andare avanti fino a trovare la x e la y in funzione di "lambda".
Qualcuno può spiegarmi passo passo come risolvere, per esempio, il primo?

(Funzione: xy ; Relazione: x^2 + 2y^2 <= 4)

Grazie :)

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Re: Inf-Sup-Max-Min 3

#11 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 27 aprile 2014, 19:36

Beh, per cominciare ho spostato il post nella sezione giusta ...

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Re: Inf-Sup-Max-Min 3

#12 Messaggioda GIMUSI » domenica 27 aprile 2014, 21:19

volm92 ha scritto:Buonasera,
...
Qualcuno può spiegarmi passo passo come risolvere, per esempio, il primo?

(Funzione: xy ; Relazione: x^2 + 2y^2 <= 4)

Grazie :)


allego un possibile svolgimento dell'esercizio

puoi anche dare un'occhiata anche al precedente thread omonimo nel quale puoi trovare altri esercizi svolti e alcune osservazioni del prof. sulle cautele da adottare per la risoluzione del secondo sistema (in sintesi: per eliminare lambda meglio moltiplicare che dividere)
Allegati
140427 - massimi minimi vincolati 04.pdf
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Re: Inf-Sup-Max-Min 3

#13 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 28 aprile 2014, 8:51

GIMUSI ha scritto:puoi anche dare un'occhiata anche al precedente thread omonimo

Ho riunificato i thread per una più agevole consultazione.

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Re: inf-sup-max-min 3

#14 Messaggioda volm92 » domenica 4 maggio 2014, 18:31

Grazie mille per la risposta precedente, ora c'è un altro esercizio che mi sta dando non pochi problemi: il numero 7.

Quando vado a fare la derivata rispetto ad y della funzione, mi viene fuori un segno negativo che mi da poi problemi "complessi" (nel vero senso della parola) quando vado a trovare lambda.

Sicuramente c'è qualche trucchetto..od un po' di teoria che mi sfugge.

Ringrazio coloro che mi suggeriranno. :)

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Re: inf-sup-max-min 3

#15 Messaggioda GIMUSI » martedì 6 maggio 2014, 12:20

volm92 ha scritto:Grazie mille per la risposta precedente, ora c'è un altro esercizio che mi sta dando non pochi problemi: il numero 7


se metti il testo provo a farlo poi ti dico
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