Solidi di rotazione

Integrali multipli, anche impropri
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Angelica27
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Solidi di rotazione

#1 Messaggioda Angelica27 » martedì 27 maggio 2014, 18:31

Scusi professore, negli esercizi sui solidi di rotazione, nel momento in cui vado a calcolare la coordinata del baricentro del solido che mi serve, non riesco ad impostare l'integrale triplo; soprattutto dal secondo esercizio in poi, cioè da quando per esempio x varia tra 0 e y e a me serve proprio la xG. Non so se sono riuscita a spiegarmi... Lo sto provando in tutti i modi, ma proprio non capisco cosa sto combinando! :roll:

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Re: Solidi di rotazione

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 27 maggio 2014, 23:13

se posti il testo degli esercizi posso provare a darti una mano :)

PS
credo che questo tipo di esercizi vada nella sezione "Calcolo integrale in più variabili"
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Re: Solidi di rotazione

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 28 maggio 2014, 8:56

GIMUSI ha scritto:credo che questo tipo di esercizi vada nella sezione "Calcolo integrale in più variabili"

Già, io intanto sposto ...

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Re: Solidi di rotazione

#4 Messaggioda matt_93 » sabato 31 maggio 2014, 9:04

Ne approfitto per fare una domanda: la formula diretta per i solidi di rotazione
\pi\int_{a}^{b} \varphi(x)^{2}\, dx
Io non la riesco ad applicare, certe volte, perché non riesco a capire certe volte quale sia la curva \varphi (x):
Esempio semplice:
Volume del solido descritto dalla rotazione intorno asse x della figura
0<=x <=1, 0<=y<=x^{2}
in questo caso \varphi (x) chi è?

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Re: Solidi di rotazione

#5 Messaggioda GIMUSI » sabato 31 maggio 2014, 9:28

matt_93 ha scritto:Esempio semplice:
Volume del solido descritto dalla rotazione intorno asse x della figura
0<=x <=1, 0<=y<=x^{2}
in questo caso \varphi (x) chi è?


credo che sia importante fare prima di tutto un disegno del solido di rotazione

in questo caso semplice \varphi (x)=x^2 (=raggio delle sezioni del solido)

[EDIT] lo svolgimento è stato postato in un messaggio successivo anche per il caso di rotazione attorno all'asse y
Ultima modifica di GIMUSI il sabato 31 maggio 2014, 15:20, modificato 1 volta in totale.
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Re: Solidi di rotazione

#6 Messaggioda matt_93 » sabato 31 maggio 2014, 11:06

Grazie ancora! Ultime 2 domande e poi non ti scoccio più :mrgreen: :
1) cosa succede se invece ruoto attorno asse y?
2) volume solido ottenuto dalla rotazione attorno asse z della figura
1 <=y <=2, 0 <=zy <=1

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Re: Solidi di rotazione

#7 Messaggioda GIMUSI » sabato 31 maggio 2014, 15:18

matt_93 ha scritto:Grazie ancora! Ultime 2 domande e poi non ti scoccio più :mrgreen: :
1) cosa succede se invece ruoto attorno asse y?
2) volume solido ottenuto dalla rotazione attorno asse z della figura
1 <=y <=2, 0 <=zy <=1


non scocci affatto...

allego lo svolgimento del primo esercizio completato con il caso di rotazione attorno all'asse y (in questo caso si devono considerare due raggi)

e lo svolgimento del secondo (qui è anche necessario spezzare l'integrale in due parti) con verifica tramite guldino :)
Allegati
140531 - solidi di rotazione 02.pdf
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Re: Solidi di rotazione

#8 Messaggioda alex994 » venerdì 6 giugno 2014, 17:03

scusate mi potreste aiutare a impostare l'integrale per la coordinata x del baricentro della figura descritta da 0≤y≤2 , 0≤x≤y, e con asse di rotazione x :cry: :cry:

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Re: Solidi di rotazione

#9 Messaggioda GIMUSI » venerdì 6 giugno 2014, 17:10

alex994 ha scritto:scusate mi potreste aiutare a impostare l'integrale per la coordinata x del baricentro della figura descritta da 0≤y≤2 , 0≤x≤y, e con asse di rotazione x :cry: :cry:


lo trovi nel thread "Errata corrige"
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Re: Solidi di rotazione

#10 Messaggioda alex994 » venerdì 6 giugno 2014, 17:21

grazie per avermi detto dove trovare lo svolgimento, ma non capisco sul calcolo di $x_g$ da dove venga fuori quel $2^2-x^2$

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Re: Solidi di rotazione

#11 Messaggioda GIMUSI » venerdì 6 giugno 2014, 17:24

alex994 ha scritto:grazie per avermi detto dove trovare lo svolgimento, ma non capisco sul calcolo di $x_g$ da dove venga fuori quel $2^2-x^2$


è per il calcolo della superficie della corona circolare che ha 2 come raggio esterno e x come raggio interno
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Re: Solidi di rotazione

#12 Messaggioda alex994 » venerdì 6 giugno 2014, 17:27

Grazie mille :D :D :D :D
Senza di te sarei proprio perso!!!!

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Re: Solidi di rotazione

#13 Messaggioda Gabe » martedì 10 giugno 2014, 13:09

Per questo solido di rotazione:

1 <=y <=2, 0 <=zy <=1

se calcolo il volume con la formula diretta mi torna come a voi 2\pi, ma se uso Guldino mi viene: Area=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} dz = ln(2)
z_G=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} z dz = 1/2

Vol=Area*2\pi*z_G=\pi ln(2)

Mi trovo anche in difficoltà a trovare le coordinate del barincentro del solido

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Re: Solidi di rotazione

#14 Messaggioda GIMUSI » martedì 10 giugno 2014, 21:41

Gabe ha scritto:Per questo solido di rotazione:

1 <=y <=2, 0 <=zy <=1

se calcolo il volume con la formula diretta mi torna come a voi 2\pi, ma se uso Guldino mi viene: Area=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} dz = ln(2)
z_G=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} z dz = 1/2

Vol=Area*2\pi*z_G=\pi ln(2)

Mi trovo anche in difficoltà a trovare le coordinate del barincentro del solido


per calcolare z_G si deve dividere per l'area e il ln2 si elide
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Re: Solidi di rotazione

#15 Messaggioda Gabe » sabato 21 giugno 2014, 16:54

Ho una domanda su questi due esercizi, come faccio a farli con la formula diretta? con Guldino mi tornano, ma nell'altro modo no

Calcolare il volume dei solidi di rotazione:

1) Figura: \{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \} rotazione intorno a x


2) Figura: \{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \} rotazione intorno a y


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