Scritti anni 2012/2013
Moderatore: ghisi
Scritti anni 2012/2013
Questi sono alcuni degli scritti di Analisi II degli anni 2012 e 2013.
Re: Scritti anni 2012/2013
allego lo svolgimento
del primo compito 2012
[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)
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GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
allego lo svolgimento
del secondo compito 2012
[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni all'esercizio 1 sulla base delle osservazioni della prof.ssa Ghisi

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni all'esercizio 1 sulla base delle osservazioni della prof.ssa Ghisi
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Ultima modifica di GIMUSI il venerdì 6 giugno 2014, 0:24, modificato 1 volta in totale.
GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel primo compito 2012
[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)
esercizio 3
a) dopo il primo passaggio ti sei perso un

b) Non va bene: usi sostanzialmente che







Re: Scritti anni 2012/2013
ghisi ha scritto:...esercizio 3
a) dopo il primo passaggio ti sei perso un.
b) Non va bene: usi sostanzialmente cheall'infinito è equivalente a
, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni
esiste
tale che
e scegliere
in funzione del parametro
. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.
gli integrali impropri parametrici sono davvero insidiosi...proverò a rifarlo secondo queste indicazioni...grazie

GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel secondo compito 2012
Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):
innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe



Re: Scritti anni 2012/2013
ghisi ha scritto:
esercizio 3
a) dopo il primo passaggio ti sei perso un.
b) Non va bene: usi sostanzialmente cheall'infinito è equivalente a
, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni
esiste
tale che
e scegliere
in funzione del parametro
. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.
per il punto a) ok
per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento

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GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
ghisi ha scritto:GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel secondo compito 2012
Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):
innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righee
ha sempre rango 2 in
.
ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...
mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato

e se esistono punti singolari che succede?
GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:ghisi ha scritto:
esercizio 3
a) dopo il primo passaggio ti sei perso un.
b) Non va bene: usi sostanzialmente cheall'infinito è equivalente a
, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni
esiste
tale che
e scegliere
in funzione del parametro
. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.
per il punto a) ok
per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento
In effetti sul secondo punto, per la parte convergenza hai un po' barato, dovresti dimostrare che l'integrale che ottieni alla fine in una variabile converge

Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)
Fissiamo




Quindi

Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:ghisi ha scritto:GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel secondo compito 2012
Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):
innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righee
ha sempre rango 2 in
.
ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...
mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato![]()
e se esistono punti singolari che succede?
Sono gli stessi problemi che si hanno in 2 variabili con un solo moltiplicatore (cuspidi, rami...). Nel peggiore dei casi le due equazioni potrebbero addirittura essere uguali!
Re: Scritti anni 2012/2013
ghisi ha scritto:Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)
Fissiamoallora esiste
tale che
. Inoltre
Quindi
ecco il concetto mi era chiaro...il logaritmo è una gran schiappa che perde anche con il più debole polinomio...ma non sapevo come formalizzarlo...grazie

GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
allego lo svolgimento
del terzo compito 2012
EDIT] la rev01 recepisce le numerose osservazioni e correzioni indicate dalla prof.ssa Ghisi

EDIT] la rev01 recepisce le numerose osservazioni e correzioni indicate dalla prof.ssa Ghisi
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Ultima modifica di GIMUSI il domenica 8 giugno 2014, 20:53, modificato 1 volta in totale.
GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel terzo compito 2012
Primo esercizio
punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.
(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)
Secondo esercizio
Punto b) Quei

Terzo esercizio
Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare

Quarto esercizio
punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che sia








punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno

Re: Scritti anni 2012/2013
ghisi ha scritto:GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimentodel terzo compito 2012
Primo esercizio
punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.
(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)
l'ho rifatto anche con i moltiplicatori e segnalando l'inutilità dello studio con l'hessiana
ghisi ha scritto:Secondo esercizio
Punto b) Queial denominatore non mi tornano. L'integrale non è esattamente la coordinata del baricentro. Non devi dividere per l'area. La cosa più semplice è vederlo come un semplice integrale 2 dimensionale.
mi son fatto prendere dal pericolosissimo entusiasmo creativo...in effetti l'integrale rappresenta il baricentro moltiplicato l'area...in entrambi i casi ho utilizzato questa proprietà come verifica...spero finalmente in modo corretto
ghisi ha scritto:Terzo esercizio
Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare').
ho corretto il passaggio incriminato minorando il nuovo dominio con un quarto di cerchio e poi passando alle coordinate polari
ghisi ha scritto:Quarto esercizio
punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che siache
siano gli estremi. Potrebbe però a priori succedere
per
un punto interno all'intervallo e
un estremo. C'è un modo molto più semplice di quello che hai usato: dalla seconda equazione
quindi se
deve essere
. A questo punto basta sostituire nella prima equazione.
con questo "hint" diventa un gioco da ragazzi...ma non era così facile da vedere

ghisi ha scritto:punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno.
l'ho rifatto partendo da GG...del segno sbagliato in effetti me ne ero accorto fin dall'inizio e mi aspettavo un segno meno...ma non avevo pensato al fatto che l'uguglianza scritta fosse proprio sbagliata

un disastro insomma...sarei stato bocciato?

aggiorno il file in rev01 con tutte le correzioni segnalate

GIMUSI
Re: Scritti anni 2012/2013
GIMUSI ha scritto:
un disastro insomma...sarei stato bocciato?![]()
Adesso non esageriamo! Diciamo che non avresti preso 30, ma da qui a non passare l'esame...
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