Così ho cominciato a cercare su internet tra dispense e materiali senza trovare un metodo concorde con un altro. Sembra strano ma è così, e ho cominciato a mettere insieme i pezzi...
[Correggetemi se sbaglio]
(*) [math]
1. Si procede determinando la soluzione dell'equazione omogenea associata.
2. Da qui in poi per trovare una soluzione particolare analizzeremo la f(x):
- CASO 1: [math] (ovvero polinomio di grado n)
In generale cercheremo una soluzione particolare [math] della stessa forma del termine noto, ovvero un polinomio di grado n.
OSS. Se nella (*) [math], dovremo cercare polinomio di grado [math].
OSS. Se nella (*) [math], dovremo cercare polinomio di grado [math].
- CASO 2: [math] (ovvero costante per esponenziale)
In generale cercheremo una soluzione particolare [math] della forma [math]
OSS. Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè [math] ossia perchè [math] è soluzione dell'equazione differenziale omogenea) cercare [math], se nemmeno questo di tipo di soluzione esiste, cercare [math]
- CASO 3: [math] (ovvero polinomio di grado n per esponenziale)
Vale lo stesso metodo del CASO 2 ma in questo caso la costante c diventa un polinomio di grado n, quindi si avrà una soluzione particolare della forma [math]
OSS. Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè [math] ossia perchè [math] è soluzione dell'equazione differenziale omogenea) cercare [math], e così via in base alla molteplicità di [math], cercare [math]
- CASO 4: [math] (ovvero costante rho per coseno (con x per costante omega) + costante varrho per seno (con x per costante omega)
In generale cercheremo una soluzione particolare [math] della forma [math]
OSS. Anche se [math] ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.
OSS. Se in (*) [math] può accadere che [math] sia già soluzione dell'omogenea: in tal caso, la soluzione è della forma [math]
- CASO 5: [math] (ovvero esponenziale per CASO 4)
In generale cercheremo una soluzione particolare [math] della forma [math]
OSS. Se [math] è la soluzione di [math], bisogna sostituire [math] con [math].
OSS. Se [math] ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.
- CASO 6: [math] (ovvero rho (polinomio di grado n) per coseno (con x per costante omega) + varrho (polinomio di grado n) per seno (con x per costante omega)
- CASO 7: [math] (ovvero esponenziale per CASO 6)
- CASO EXTRA: [math] (ovvero somma di due funzioni dei tipi precedenti)
EDIT. Non ho messo i relativi esempi perchè mi rendo conto sia già un papiro. In caso sono sempre disponibile ad aggiungerli successivamente. Il CASO 6 e il CASO 7 non mi sono chiari e chiedo delucidazioni. Tutto ciò che ho scritto è da prendere con le pinze in quanto non sia altro che un breve riassunto di ciò che ho trovato fin'ora.