Spazi metrici

[EmanueleBelli]

Ciao a tutti
Devo dimostrare una cosa sugli spazi di funzioni
Sia [math]\mathbb{X}={[math]f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} , funzioni limitate}
Definiamo la distanza [math]d(f,g):= sup{[math]|f(x)-g(x)| con [math]x\in[0,1]}
Voglio dimostrare che [math](\mathbb{X},d) è un metrico completo
Che è metrico nessun problema, ma come dimostro la convergenza delle successioni di cauchy?
In realtà so che il fatto che [math](\mathbb{X},d) sia completo vale per un qualsiasi spazio di funzioni che abbia in arrivo un metrico completo (come [math]\mathbb{R} nel nostro caso) anzi, in realtà vale anche un "se e solo se". Cioè [math](\mathbb{X},d) è completo se e solo se lo spazio in arrivo delle funzioni è completo.
Idee per la dimostrazione?

[Massimo Gobbino]

Intanto conquistiamo la convergenza puntuale

[+] puntuale

Se [math]\{f_n\} è di Cauchy nello spazio di funzioni, allora [math]\{f_n(x)\} è di Cauchy in arrivo per ogni [math]x in partenza

Poi passiamo alla uniforme

[+] uniforme

Scriviamo cosa vuol dire che la [math]\{f_n\} è di Cauchy nello spazio di funzioni, poi mandiamo all'infinito uno dei due indici.

Infine, se proprio dobbiamo, ci possiamo occupare del viceversa

[+] viceversa

Basta considerare funzioni costanti ...

Se servono altri dettagli basta chiedere.

[EmanueleBelli]

Tutto chiaro, la rigrazio