Non ho ben capito questo ragionamento sul 4b della christmas edition,
gino ha scritto: se [math]f \in W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018}) allora [math]Tr(f) \in W^{24,q}(\mathbb{R}^{2017}) dove [math]q\in [ 12 ;\frac{12(2018-1)}{2018-12} ] (usando lo stesso argomento usato in classe per le [math]C^\infty_c controllo le norme delle derivate con le derivate immediatamente successive e per approssimazione sulle sobolev, questo è il punto che mi è parso interessante, ma di cui vorrei un riscontro)
nel senso che mi torna nel caso p=1 che si stimino le derivate parziali della traccia con le derivate seconde della funzione, come nella dimostrazione a lezione partendo da
[math]u_x(x,0) = - \int_{0}^{+\infty}u_{xy}(x,y)dy e giungendo a
[math]||u_x(x,0)||_{L^1(\mathbb{R}^{d-1})} \leq ||u_{xy}||_{L^1(\mathbb{R}^d_+)}. Però dalla stima con p=1 non vedo come passare a quella con p generico, forse ci vuole una
[math]v ausiliaria più furba.
Per questo esercizio in particolare ragionerei così: la
[math]g non è che la traccia di
[math]f sull'iperpiano
[math]x_{2018} = \sum_1^{2017} x_i, quindi posso stimare
[math]||g||_{L^{12}(\mathbb{R}^{2017})} \leq c ||f||_{1,12,\mathbb{R}^{2018}}. Si può poi applicare il risultato di improvement, ponendo quell'
[math]r della dimostrazione non uguale a
[math]p/p' ma a
[math]p^*/p', dove il
[math]p^* però è quello dell'immersione con
[math]m generico e
[math]mp<d, ottenendo che
[math]g sta in
[math]L^{\frac{p(d-m)}{d-mp}} (quell'esponente è circa 13,9), e per interpolazione in tutti gli
[math]L^p intermedi.
Per quanto riguarda l'ottimalità di questo risultato, non sono ancora sicuro...