L'inverter del laplaciano è compatto

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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aleM
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L'inverter del laplaciano è compatto

#1 Messaggioda aleM » venerdì 10 maggio 2019, 13:49

Alla fine della lezione 48 abbiamo visto l'esempio dell'operatore [math] che ad una [math] associa l'unica [math] che è soluzione debole di [math].

A questo punto se [math] è limitato, per mostrare la compattezza di [math] vorrei usare l'immersione compatta [math]. In partenza ho una successione limitata [math], e da qui vorrei una limitazione in norma [math] per [math], per poi applicare l'immersione compatta ed estrarre la sottosuccessione [math] convergente in [math].

Se [math] è buono, con la regolarità [math] controllo le norme delle derivate seconde con [math].

Inoltre la Poincaré mi dice che [math].

Per concludere servirebbe una stima su [math], verosimilmente da ricavare da quella sulle derivate seconde, ma in che modo? Con una Poincaré iterata, anche se le [math] stanno solo in [math] e non in [math]?

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Re: L'inverter del laplaciano è compatto

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 10 maggio 2019, 14:27

Sì, serve proprio una stima [math] sul gradiente.

In dimensione uno questa si ricava abbastanza facilmente da quella sulle derivate seconde. Come? Perché?

L'idea però non mi pare che si ricicli in dimensione più alta, e per quanto ne so io bisogna fare un altro giro. Qualcuno vuole contribuire?

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Re: L'inverter del laplaciano è compatto

#3 Messaggioda aleM » venerdì 10 maggio 2019, 16:11

in dimensione 1 direi innanzitutto che le [math] per immersione sono 1/2-holderiane, quindi nulle al bordo dato che sono [math]. Poi la stima [math] sulle [math] mi dice che le [math] stanno anche in [math], e quindi le [math] stanno in [math], dunque anche loro sono 1/2-holderiane.

La stima sulle derivate seconde inoltre mi dice che le [math] sono equi-1/2-holderiane con costante maggiorata da quell'[math].

A questo punto si ottiene una stima addirittura [math] per le derivate: per ogni [math] esiste un punto [math] tale che [math] perché le [math] sono nulle al bordo (Rolle), quindi [math].

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Re: L'inverter del laplaciano è compatto

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 10 maggio 2019, 18:27

Già, il buon Rolle è proprio quello che non possiamo usare così facilmente in dimensione più alta.

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Re: L'inverter del laplaciano è compatto

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 12 maggio 2019, 17:05

Ecco un aiutino per avere la stima sul gradiente. Invito ad espandere i dettagli.

[+] Stima_sul_gradiente
Moltiplicando l'equazione per u, ed integrando il LHS per parti, riusciamo a stimare il gradiente in funzione di u, che è qualcosa contro natura. D'altra parte, per Poincaré possiamo stimare u in funzione del gradiente, secondo natura.

Mettendo insieme le due stime ...

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Re: L'inverter del laplaciano è compatto

#6 Messaggioda aleM » lunedì 13 maggio 2019, 13:30

Forse ci sono, presa una qualunque [math] di quelle (chiamiamola [math] per semplicità), si ha [math], ora si integra su [math] ottenendo [math] (Cauchy-Schwarz + limitazione di f + Poincaré).

A questo punto si integra per parti il LHS e si ha [math] con la parte di bordo che è nulla per le condizioni al bordo di [math].

Metto insieme: [math] che implica la limitazione L2 del gradiente.

Il passaggio per parti è giustificato dalla regolarità L2, cioè possiamo usare Gauss Green sulle approssimanti e passare al limite scegliendo approssimanti [math] per la [math] e approssimanti [math] per il laplaciano, giusto?


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